第51話 正準交換関係
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正準交換関係（canonical commuatation relation） 物理量のあるセットを考える。
 この時  を満たすとき自由度nの正準交換関係という。ことらしいのだが、n=3 以外の場合の具体的な例はちょっと思い当たらない。あえて考えるならM個の粒子を考えたときn=3M個の物理量のセットと考える事が出来る。普通に思い浮かべるのはn=3の場合で（x,y,z）成分に対応した物理量だろう。  ともかくこの正準交換関係を満たす物理量にたいしてRobertsonの不等式  を当てはめると  となって、ハイゼンベルグの不確定性原理と同じ形をした式  を得ます。ここで  と置いてみる。（ここで黒丸は掛け算）（ともかくそう置いてみる、という事）そうすると、この二つの作用素は正準交換関係を満たしている。少し暗示的だがP,Qが粒子の位置と運動量に対応する物理量だとすると、位置と運動量に対するハイゼンベルグの不確定性原理と一致する。シロート（私）はこれで位置と運動量に対するハイゼンベルグの不確定性原理が証明されたように錯覚してしまいます。つまりこれは導かれたので原理では無くて定理ではないかと。どこに錯覚が在ったかといえば「位置と運動量に対応する物理量だとすると」という点です。なので「位置と運動量に対応する物理量だとすると」というのは量子力学の仮定（前提）としなければならない（どこからもそれらが位置と運動量に対応する物理量であるという事は導けない）のでこの仮定を前提にした式  は実験的にもその正しさからいって「原理」として位置付けるしかないという事だろう。こうして再度考えてみるとより基本的な物理量に対する要請は「正準交換関係」だろうか。つまり図式的には  とするなら、「正準交換関係」を仮定すればハイゼンベルグの不確定性原理は定理に降格と言えそうだがやはり間違いでこのような関係を仮定しても「それらが位置と運動量に対応する物理量であるという事は導けない」という事実は一向に修正されていない。結局のところ「正準交換関係」と不確定性原理は密接に関連している（むしろ等価とも言える）のだろう。 それらが位置と運動量に対応する物理量であるという事は量子力学の一つの仮定だという事を改めて認識できたように思う。なぜか時がたつとこの事を忘れてしまうのでここに残す事にしました。 |
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このこのとは前回の議論を通して「目が覚めた」気持ちになったので書いておくことにした。こう考えてみると正準交換関係が今まで以上に重要な概念だと痛感した。ただ、実際は正準交換関係はもっと奥の深い数学的背景があるようだ。ただそこまでは残念ながら私には山が高すぎて登る事は出来ないが山の概観は見えた、という事かな。
2007/5/26(土) 午前 9:35
この話に限らず、物理の理論って、全部仮定じゃないですか？
実験結果をいかによく説明できるか、とか、いかに諸々の理論を統合できるかということでしか、価値が決まらない。要するに、突き詰めれば、「上手い！」とか「すごい！」とか、そういう主観的なものによって、理論の価値が決まるように見える。究極の理論というものが存在したとしても、それが究極であることを証明できない。
2007/5/26(土) 午後 6:33 [ 霊感ネコ ]
「物理量と演算子が対応する」という（根拠の無い）アイデアのみが物理学の受け持ちであって、その後、シュワルツの不等式などを使って、不確定性の不等式を導く所は、純粋な数学ですからね。
2007/5/26(土) 午後 6:48 [ 霊感ネコ ]
確かにそうなんでしょうね。言えるのは実験の結果とどれだけ適合するかという事だと思います。例えば実験値との誤差が小さいほど「良い理論」と言えるだけかもしれません。私の個人的な感覚では数少ない仮定を出発点にどれだけ物理現象というか自然を精度よく説明または予言するための探求が物理なんじゃないかなと思います。
2007/5/26(土) 午後 6:50
私もそう思います。実際に起こる出来事に対して、なぜそうなのか、納得できるストーリーを提供して説明し、さらに予言までするのが理論物理学者だとすると、それは、宗教家のやっている仕事と（役割的には）同じですね＾＾ｗ
2007/5/26(土) 午後 7:36 [ 霊感ネコ ]
「四つの方程式であらゆる電磁現象を記述できる」と、「神様が存在しますから電磁現象がある」とは全く別のことだと思います。エルミート演算子を導入しないでミクロのあらゆる現象を記述する方法僕には知りませんから、やはり量子力学はすごいと思います。
2007/5/27(日) 午前 11:43 [ entangled74 ]
不確定性関係が古典的な正準交換関係の対応物の無い場合、つまり正準変数に対する交換関係ではないオブザーバブルとしてスピンなんかもあるし、オブザーバブルの概念自体が公理的な立場から考えられるものでも無いと思います。そしてオブザーバブルが実際に、簡単な量に関しては古典論の場合と本質的に同様な方法でなされるものと見れば、それ自体が対応原理の物理的内容を包含していると思います。恐らく記事で書かれていることも、そのような意味で「等価」と表現されておられるのですよね？
2007/5/27(日) 午後 9:48 [ ]
物理量と演算子の対応というのも、実際にはオブザーバブルと固有値スペクトルの対応であるでしょうし。そこでは固有値が得られることの数理的な背景として、エルミート演算子を対角化するユニタリ変換の存在もあるのではないでしょうか？観測で取り出される状態は固有ベクトルで測ったときのスペクトルになると考えているのですが・・・。その視点では対角化可能という条件が観測に付随するわけで、不確定性原理が原理として表現するべきだと思うのです。
2007/5/27(日) 午後 10:03 [ ]
宗教家の例ですが、そういう意味で書いたコメントじゃないんですよ、もちろん＾＾；宗教家は、人生で起こるさまざまな困難・出来事に対して、理論というかストーリーを提供して説明し納得させる仕事であるから、実験事実を独自の理論で説明しようとする理論物理学者と役割的（機能的）には似てると言っただけで、だれも宗教家が自然科学の仕事をするだなんて言ってませんよ。文章の読解上、大きな勘違いをなさっています。> entangleさん
2007/5/27(日) 午後 10:21 [ 霊感ネコ ]
一応、私も数学の博士号を持っているので、数理的なセンスと言いますか、「量子力学はすごい」とか、そういう面白さがわかった上で、さらに理科系に留まらない広い感覚でコメントしています。
2007/5/27(日) 午後 10:29 [ 霊感ネコ ]
あ、僕はそういう意味で言っているのではありません。宗教家の仕事はもちろん自然科学ではありません。言いたいことは単に、量子力学は「（根拠の無い）アイデア」ではなく、自然を記述するのに一番適しているものですから、十分に根拠があります。正しく「記述」できることに大きな意味がありますから、量子力学がすごいと言っています。究極の説明（つまり、なぜこのような世界なのか）を求めるならば、やはり宗教家に聞くべきで、物理学者の役割はあくまでも「記述」だと思います。はっきりと分けたいものです。
2007/5/28(月) 午前 0:21 [ entangled74 ]
あ、そこですかｗ 引っかかってらっしゃるのは＾＾「（根拠のない）アイデア」というのは、でたらめなアイデアという意味ではありませんよ。entangleさんの最新のコメントを見てください。「一番適している」とか「十分に」とかいう言葉を使われてますね。つまり、物理の理論の良し悪しというのは、程度問題なんであって、絶対正しいということはない、ということなんですよ。不確定性原理の不等式だって、いつ改良されるか、わからないでしょ？ つまり、これが究極の理論だと今の時代の人が思っていても、時代が変われば、アッサリ改良されて、昔の人はこんなものを信じてたんだよ・・ってなる。
2007/5/28(月) 午前 2:26 [ 霊感ネコ ]
このように、「根拠のない」というのは、絶対性の根拠がないという意味ですね。いつ矛盾する実験事実が出てくるか分からない。それとは対照的に、シュワルツの不等式は絶対正しいですから。根拠のないアイデアといったのは、悪い意味でいったのではなく、私の当該のコメントを読めば分かりますが、数学の部分と比較して言ったんですよ。
2007/5/28(月) 午前 3:48 [ 霊感ネコ ]
ああ、そうだった。無意味に、（ ）を付けたわけではないんです。
2007/5/28(月) 午前 3:57 [ 霊感ネコ ]
hide3projさん、こんにちは。最初のコメントですが、、、すみません私のレベルではそこまでまだ理解できていないです。ただ、要約すると正準交換関係の存在と不確定性原理は等価でない例としてスピンがあるという事でしょうか？あー、ここでスピンと言っているのはパウリ行列なんでしょうか？
2007/5/28(月) 午後 0:48
hide3proj さんの二つ目のコメントですが「物理量と演算子の対応、、」この説明は整理された説明だと感じました。今までバラバラだった概念が一つのストーリとして読めますのでかなり簡素に整理されました。ユニタリ変換の存在も単に内積が保存されるためだけというか波動関数の変換に課した要請だけの意味しか無いと思っていました。ありがとうございました。また知識を得る事が出来ました。
2007/5/28(月) 午後 0:54
あ、僕の認識として不確定性原理は量子化と観測の両者に深く関連していると考えていまして、正準交換関係とは古典論との対応原理の範囲内での話しであろうと考えていたのです。すると内部自由度であるスピンの交換関係に対応するような不確定性は古典論で対応物が無いために不確定性原理が狭義の解釈になりはしないかと思い、コメントした次第です。
2007/5/28(月) 午後 7:40 [ ]
なるほどー、、、多分ですけど。まだまだ勉強中なので。でも「不確定性原理は量子化と観測の両者に深く関連している」というのは私もそう思います。感覚的なものですが（今は）正準交換関係はなにか基本的な関係を示唆しているような気がしています。今はですけど（笑）。さらに深く知識を得た時どんな風に考えが変遷して行くのかも私は個人的には楽しみです。（なのでblogに書いてるんですけどね）
2007/5/28(月) 午後 9:20
こんにちは。
＞位置と運動量に対応する物理量であるという事は量子力学の一つの仮定
についてですが、位置xとその相補量ｑについて、[x q]＝ｉ は、証明できます。
で、qについて、ｈ’ｑが、運動量ｐになることは、古典的極限から言え、
[x ｐ/h']＝ｉ したがって、[x ｐ]＝ｉh'
が導出できると思います。
まぁ「古典的極限」というのが、あやしいですが ＾＾；
2012/1/22(日) 午前 0:47 [ kafuka*no*ochan ]