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「転ぶな、風邪ひくな、義理を欠け」...長寿の心得... (by 岸信介)

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4443:正三角柱の切断面...

イメージ 1

問題4443・・・やどかりさんのブログ  http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/26325027.html  より Orz〜

イメージ 2

1辺が 20 の正三角形を底面とする正三角柱を、切り口が直角三角形で底面に触れないように切断します。その切り口の面積Sの最小値は?




















































































解答

これまたアップし損ねてましたようで...申し訳ございませんでしたぁ ^^;...Orz〜
と思ってたら...
http://blogs.yahoo.co.jp/crazy_tombo/45333801.html にアップさせていただいておりました ^^;...
耄碌してきましたようで...〜m(_ _)m〜
記事は重複しますが...このままにしますね ^^;v

上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/26437705.html  より Orz〜

イメージ 3

切り口の三角形の頂点を手前からB,A,Cとし、Aを通り底面に平行な切り口の正三角形に対し、
Bは手前xの所にあり、Cは向こうyの所にあるものとします。
AB2=202+x2, AC2=202+y2
BC2=202+(x+y)2, BC2=AB2+AC2 だから、
202+(x+y)2=202+x2+202+y2、 202+x2+2xy+y2=202+x2+202+y2
xy=200 となります。
S2=AB2・AC2/4=(202+x2)(202+y2)/4
コーシー・シュワルツの不等式により、 (202+x2)(202+y2)≧(20・20+xy)2 だから、
S2≧(400+200)2/4=90000 、S≧300 になります。
等号が成立するのは 20:x=20:y 、x=y=10√2 のとき、AB=AC=10√6 のとき です。

なお、次のように式変形しても最小値が出ます。

S2=(202+x2)(202+y2)/4=40000+100(x2+y2)+(xy)2/4
=40000+100(x2+y2)+2002/4=50000+200(x2+y2)/2

ここで、相加平均・相乗平均の関係により、 (x2+y2)/2≧√(x2y2)=xy=200 だから、
S2≧50000+200・200=90000、 S≧300 となります。
等号は、x2=y2=200 のときに成り立ちます。


*対称性から...直角二等辺三角形と一意に決定されそうな気が...^^;...?

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やどかりさんの問題&解答をアップさせていただきました♪

2011/7/29(金) 午前 9:16 [ スモークマン ] <<コメントに返信する

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>鍵コメ様へ ^^
あれ〜...ご指摘サンクスです ^^;v
ややこしいことになるので...このままにさせていただきますぅ Orz~~~

2011/7/29(金) 午後 8:22 [ スモークマン ] <<コメントに返信する

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