4892：格子点の数...

問題4892・・・やどかりさんのブログ  http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/29317998.html  より Orz〜

　xy平面上で、ｘ座標もｙ座標も整数である点を格子点といいます。 aを実定数として、
領域 0≦y≦−x²＋a に格子点が 403個あるとき、領域 0＜y＜−x²＋a に格子点は何個？

解答

上記サイト  http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/29382442.html  より Orz〜

　領域 0≦y≦−x²＋a に格子点の個数を f(a) とします。

明らかに、a＜0 のとき f(a)＝0 ，f(0)＝1 で、
左上図と左下図の水色と紫の点のように、f(a)＝f([a]) になります。

また、a＜a' のとき 0≦y≦−x²＋a ならば 0≦y≦−x²＋a' だから、f(a)≦f(a') です。
つまり、関数 f(a) は広義単調増加になります。

次に、左上図と左下図の水色の点は 領域 0＜y＜−x²＋a の格子点で、
その個数は、右図と比べることにより、
ａが自然数以外の正の数のとき f([a]−1) 個、 ａが自然数のとき f(a−2) 個です。

f(a) の値については、
−[√a]≦x≦[√a]，0≦y≦[a] にある格子点は全部で、(2[√a]＋1)([a]＋1) 個のうち、
適さないものは、k＝1，2，……，[√a] として、x＝±k のとき、k² 個ずつで、
[√a]([√a]＋1)(2[√a]＋1)/3 個です。
よって、f(a)＝(2[√a]＋1)([a]＋1)−[√a]([√a]＋1)(2[√a]＋1)/3 になります。

ここで、領域の面積は、(√a＋√a)³/6＝4a^3/2/3 だから、
f(a)≒4a^3/2/3 として、4a^3/2/3≒403 、a≒(1209/4)^2/3≒45 、
f(45)＝(2･6＋1){3･45＋3−6(6＋1)}/3＝416 、f(44)＝(2･6＋1){3･44＋3−6(6＋1)}/3＝403 だから、
f(a)＝403 となるのは、44≦a＜45 です。

領域 0＜y＜−x²＋a に格子点の個数は、
44＜a＜45 のとき f(43)＝(2･6＋1)(43＋1)−6(6＋1)(2･6＋1)/3＝390 、
a＝44 のとき f(42)＝(2･6＋1)(42＋1)−6(6＋1)(2･6＋1)/3＝377 です。

もちろん、次のようにしても求められます。

44＜a＜45 のとき (k，0) (k＝0，±1，±2，±3，±4，±5，±6) を除いて 403−13＝390 個、
a＝44 のとき 更に (k，−k²＋44) (k＝0，±1，±2，±3，±4，±5，±6) を除いて 390−13＝377 個。

*面白い問題でしたぁ♪

最初...

a=44
45+2*6+44*12-2*6*7*13/6=403...ビンゴ♪
a=45
46+2*6+45*12-182=416
つまり...
(2*6)*2+1+1=26
403-26=377...?
格子点のカウントの仕方が違うんだろうか...^^;
a を整数として...
(a+1)+2|√a|+2*{Σ[1〜|√a|] (a-x^2)} で考えたんだけど...

そっか...45<a<46 の時もいいのでしたぁ...!!
そのときは...
403-(2*6+1)=390 ♪
けっきょく...
377 or 390 ですね...^^

[スモークマン]

＞鍵コメさまへ ^^
👍 👍 ^^v
春眠度が増してきてますぅ〜^^;...
Orz〜

[スモークマン]

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