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「転ぶな、風邪ひくな、義理を欠け」...長寿の心得... (by 岸信介)

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こいつは曲者(くせもの)...^^;

Sprineさんから教えていただいた次のような話なんて不思議ですよねぇ...^^;...Orz〜

「 1 = 2 なら あなたは総理大臣だ 」という命題は真であることを示せ。」

という問題を以前見かけたことがあります。

本来、自分と総理大臣は同じ 1 人ではなく別の 2 人ですが、誤った仮定を正しく用いると 

自分という 1 人の人間は、自分と総理大臣という 2 人の人間 でもあるため、

自分は総理大臣であるという解答が用意されていました。



イメージ 1

P \rightarrow Q ベン図による表現

*対偶も同値なので...
上の対偶は...
「QでないならばPでない」 だと思うんだけど...
それがおなじ図にならなきゃいけないわけですが...
ややこしい...下の文の...
P ならば Q」は、
P でない、と Q である、の少なくとも一方が正しい」
の短い言い換え」
ならば...対偶は...
「PでありかつQでない」
...になるわけで...これならば了解可能♪
とにかくもって面妖な物言いね ^^;...

「論理包含(含意(がんい)、内含、implication、IMP)は、第1命題または第2命題がのときに真となる論理演算である。条件文(conditional)とほぼ同じものである。
2つの命題 P と Q に対する論理包含を P → Q などと書き、「P ならば Q」と読む。命題 P → Q に対し、P をその前件Q をその後件などと呼ぶ。

性質 

否定 ? と論理和 ∨ で表せる。冒頭の定義はこの式を日本語にしたものである。
(P \rightarrow Q) \Leftrightarrow (\lnot P \lor Q)
ド・モルガンの法則により、次のように変形できる。
(P \rightarrow Q) \Leftrightarrow \lnot(P \land \lnot Q)
ほかに、次のような性質がある。

真理値表 

命題 P 命題 QP ⇒ Q

・・・

 

P が偽ならば、Q の真偽にかかわらず「P ならば Q」が真である、という定義は直感的に受け入れ難く、しばしば哲学的な議論の主題となる。以下、例を挙げながらこの定義の妥当性を説明する。・・・
日常的な例 
ある人が「この仕事が成功しなければ辞表を出す」と言ったとしよう。この言葉が嘘となるのは、仕事が失敗したにもかかわらず辞表を出さなかった場合のみである。仕事が失敗して辞表を出したならば約束を守ったのであるし、仕事が成功してかつ辞表を出さなかったならば、やはりその人は嘘を言わなかったことになる。仕事が成功したにもかかわらず(何か他の理由で)辞表を出した場合も、やはり嘘を言ったとはみなされないであろう。すなわち、先の宣言では仕事が成功した場合のことは何も言っていないのであるから、辞表を出そうが出すまいが本人の自由である。
*これは矛盾なく了解可能ね ^^

日常会話との乖離 

日常会話における例を挙げたが、注意しなければならないのは、論理学における「ならば」と日常会話における「ならば」は同一ではない、ということである。まず、日常会話における「ならば」は、しばしば時間的な依存関係(因果関係)を内包する。例えば「薬を飲まなければ病気が治らない」の対偶は、逐語的には「病気が治るならば薬を飲む」であるが、この二つは明らかに意味が異なる。時間的な依存関係に注意して「病気が治った人は薬を飲んだはずだ」と言えば元の文の意味に近い。
次に、日常会話における前件は、まだ真偽が確定していない事項か、真偽が変数に依存することが普通である。すなわち、偽であることが分かっている命題を前件とすることが、日常会話では通常あり得ないのであって、それが論理包含の定義を分かりにくいものとしている。例えば、身長150cmで体重50kgの人が次のように言ったとしよう。「もし私の身長が160cm以上ならば私の体重は40kg以下である。真理値表より嘘ではありませんよ。」おそらく共感は得られないであろうが、論理学的には全く正しい。
結局のところ、論理学における「ならば」は、日常会話での「ならば」と通じる部分もあるためにそのように名付けられたが、似て非なるものであると解釈するのが安全であろう。定義の繰り返しになるが、論理学における「P ならば Q」は、「P でない、と Q である、の少なくとも一方が正しい」の短い言い換えなのである。
*必要条件はPで十分条件はQと呼ばれてたと理解してたけど...
だから...P→Qとは...P <= Q だと...^^;...
でも...これだと...たしかに...PでなくてもQであることはあるわけだわ !!

「論理演算子、結合子 :論理演算子、論理結合子と呼ばれる記号 ①・(連言あるいは論理積) ②∨(選言あるいは論理和) ③¬(否定) ④→(条件文)があります。これらはそれぞれ「かつ」,「または」,「でない」,「ならば」という意味をもちます。 補足: 
イメージ 2
論理演算子の使い方・意味:論理積・連言・:P・Q、PかつandQ 論理和・選言∨:P∨Q、PまたはorQ 否定¬:¬P、Pでないnot  条件文→:P→Q、PならばQ if P ,then Q
真理表:
shinri.JPG
ド・モルガンの法則 :論理和 、論理積 、否定 の論理記号を使って記述すると、このように表現できます。
①¬(PVQ)=¬P・¬Q、
②¬(P・Q)=¬PV¬Q
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
①(not (P or Q)) = ((not P) and (not Q))
②(not (P and Q)) = ((not P) or (not Q))
条件文: 命題A:「PならばQ」において、Pが偽であるならば、Qが真であっても偽であっても、命題Aは真になる。Pが真で、Qが偽のときのみP→Qは偽になる。理解し辛いところは、仮定Pが偽ならば、結論Qの真偽に関わらず、P → Q が真になるところです。 このことを理解するために、ある父親が「明日晴れたら遊園地に連れて行ってやるよ」と子供と約束したとする、場面を考えてください。明日、 ①晴れ(T)て遊園地に連れていった(T)としたら、正直な良い父親(T)です。 ②晴れた(T)のに遊園地に連れていかなかった(F)としたら、嘘つき(F)父親です。 ③もし雨が降った(F)のに遊園地に連れて行ってくれたら(T)父親に対して子供はどう思うでしょう?いやな父親ではあるが、嘘つきではない(T)ですよね〜。(記号⊃を→に変えてください) ④雨が降った(F)から遊園地に連れて行かなかった(F)、としたら、問題はなく普通(T)の父親です。雨が降ったときは、遊園地に連れていっても連れていなかくても、間違いではないですよねぇ〜。簡易的に下図のように理解して下さい。 
m_if.bmp
逆・裏・対偶:
イメージ 3
P→Qの対偶は¬Q→¬P で、
P→Q=¬Q→¬P が成立する。
必要条件、十分条件: Pが真で、「P → Q」 が真である時 、「P⇒Q」と書き、P は Q である為の十分条件 といい, Q はP であるための必要条件 といいます。(図式的に書けば、十分条件 ・・・・>必要条件)
全称命題・特称命題: 全称命題:すべて(any,all) の x について,P(x) が成立する。特称命題:ある (some) x が存在して,P(x) が成立する。」

必要条件と十分条件

条件p、qによって定義される 命題「pならばq」が真であるとき、

qはpの必要条件
pはqの十分条件
となります。
この文言からわかるように、必要条件であるqは、十分条件であるpを包含しています。 もし、pの一部でもqから外れるようなことがあれば、「pならばq」という命題は“偽”となります。 この外れたpの領域(下図参照)を反例と呼びます。
図1.2−1 必要条件と十分条件の関係
図1.2−1 必要条件と十分条件の関係

ところで、二つの命題「pならばq」「qならばp」がともに真であるとき、 qはpの必要条件でも十分条件でもあります(当然pもqの必要かつ十分条件となります)。
このような関係を必要十分条件であるといいます。
pとqが必要十分条件のとき、図1.2−1の関係は、qとpの円がまったく同じになることは明らかです。 このようなpとqの関係を同値または同等である、 といいます。」
*う〜ん...いまだよくわからない...^^;...この図の反例の部分が...最初の白抜けの三日月部分のことなんだろか...?...再掲↓
イメージ 4

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閉じる コメント(6)

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論理包含ですか.

ヤドカリさんの所で議論が盛り上がったことを今でも覚えています.
ほんとにややこしい話ですよね.

2012/3/4(日) 午後 6:58 [ 黒翼 ] 返信する

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たとえば、「x<3 ⇒ x<5」は真ですが、
これは、「x<3 かつ x≧5」を満たすx(反例)が存在しないからです。
この条件文に x=6 を代入すると、「6<3 ⇒ 6<5」になりますが、
これは、前提が間違っているので、間違った結論でも仕方がないということです。
この条件文に x=4 を代入すると、「4<3 ⇒ 4<5」になりますが、
これは、前提が間違っていても、正しい結論が出ることもあるということです。

拡大解釈して、「 1 = 2 なら あなたは総理大臣だ 」という命題は、
論理的には、真と言わざるを得ないのですが、
このような命題を考えること自体、ナンセンスと思います。

2012/3/4(日) 午後 8:17 ヤドカリ 返信する

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>黒翼さんへ ^^
そうです...^^
そのときついて行けなかった者で...やっと調べてみましたが...
やっぱり不可解...^^;...
どうしても...PならばQとなると...集合では...PはQに内包されてるという頭に凝り固まってるせいなんだろうなぁ...?
Orz〜

2012/3/4(日) 午後 8:38 [ スモークマン ] 返信する

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>やどかりさんへ ^^
具体例での詳説グラッチェですぅ〜m(_ _)m〜♪

そもそも前提が間違ってる場合は判例自体考えられない架空の世界のことは判定保留というよりも...一歩踏み込んで...
疑わしきは罰せず...「君子は妖怪奇譚を語らず」(孔子)...
ってのは論理的に正しいってことなのね...?...^^;
Orz〜

2012/3/4(日) 午後 8:48 [ スモークマン ] 返信する

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ヤドカリさんの例で対偶をとってからx=6を代入したら納得しやすいかもしれません。
戸田山先生の「論理学をつくる」に、条件文の真理表がこうあるべき事情が書かれています。 削除

2012/3/5(月) 午前 2:21 [ ヤンソンさんの誘惑 ] 返信する

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>ヤンソンさんの誘惑 さんへ ^^
ご指導グラッチェです〜♪
対偶...
「x >5→x ≧3」...
x=6 なら真
x=4 でも真
対偶も同じ結果で...矛盾は来してないですね ^^
無矛盾になるべく論理学は作られたのでしょうね...
Orz〜

2012/3/5(月) 午前 8:46 [ スモークマン ] 返信する

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