GPS衛星から静止衛星の時刻同期の話顛末記

話の始まりは

相対論的効果による時間の遅れをまとめると、地球中心を基準にした慣性座標系 ECI(Earth-Centered Inertial system) の中を速度 v で移動する時計の示す固有時 dτ は、座標時 dt と以下の関係になります。

dτ≒(1+U/c^2-v^2/(2c^2))dt

GPS 衛星側での補正

GPS 衛星上では相対論的効果により、時間の進み方が地表と異なるので、あらかじめ衛星搭載時計の周波数を -4.45E-10 オフセットして、UTC(協定世界時)と同期しています。


(1)一般相対論による補正(重力による赤方偏移)

地球表面と、GPS 衛星上での重力ポテンシャルの差により、GPS 衛星上での時間は地表より早く進みます。その大きさは、

ΔU/c^2=5.27E-10

です。

(2)特殊相対論による補正(2次ドップラー効果)

GPS 衛星の速度(3.874 km/sec)により、GPS 衛星上での時間は地表より遅くなります。その大きさは、

-(v/c)^2/2=-8.4E-11

です。

そして、静止衛星の時刻同期の話

地表（こまかな車の動きはとりあえず誤差として）と静止衛星が
同じ各速度ωで回転している系で考えると、お互い止まっているわけで

(2)特殊相対論による補正　は不要

というふうに説明され

悩まされた、EMANさんに相談した
いろいろな方からアドバイスをいただいた

で、結局

地表（こまかな車の動きはとりあえず誤差として）と静止衛星が
同じ各速度ωで回転している系で考えると、お互い止まっているわけで(相対的な回転角速度はゼロω．）
dτ＝√(1+2U/c^2-v^2/(c^2))≒(1+U/c^2-v^2/(2c^2))dt
互いにv(=rω．)=0
従って静止衛星と地表を同時に考えるなら互いに
dτ＝√(1+2U/c^2)≒(1+U/c^2)dt
だろ

ということを言っているのだと気がついた、

その場合、U=GM/rではなく遠心力を考慮して
U=GM/r-r^2ω^2
となるんだと思った。

結局
静止衛星軌道では
dτ≒(1+GM/rc^2-r^2ω^2/c^2)dt＝dt　：結局万有引力と遠心力がつりあっているので
地表では（rは約6,000kmとして）
dτ≒(1+GM/rc^2-r^2ω^2/c^2)dt

見た目は同じ式に戻ってきた。
とはいえ、方や衛星での話し、方や地表での話し。

一応静止衛星の時
(2)特殊相対論による補正(2次ドップラー効果)
は不要と言った人の意図はわかったつもりだが、これで終わりにしてはいけないようだ。

[yuya]

>その場合U=GM/rではなく遠心力を考慮して
>U=GM/r-r^2ω^2
>となるんだと思います

回転系で考えたとき、遠心力によるポテンシャルは
【-(rω)^2】ではなく、【-(1/2)(rω)^2】です。
(遠心力は回転中心からの距離に比例し、0からrまで積分することになるので)。
したがって、重力によるポテンシャルをφ(= - GM / r)とすると、衛星と地表のポテンシャル差は
Δ[φ - (1/2)(rω)^2] となります。これで「相対速度」がないものとして計算すれば、
dτ_衛星/dτ_地表 ≒ 1 + Δ[φ - (1/2)(rω)^2] / c^2
= 1 + (Δφ/c^2) - {Δ[(rω)^2] / 2c^2}
となります。ここで慣性系での相対速度 v = rω を考慮すると、
= 1 + (Δφ/c^2) - [Δ(v^2) / 2c^2]
となり、おおもとの式と一致しますね。

仮にそういうことだとすれば、「静止衛星では特殊相対論的補正は不要」というよりも、
全く同じ補正を「一般相対論的補正」の【名のもとに】やっている

[yuya]

コメントが切れちゃった。あとは
「ことになりますね。」だけだったんですけど(笑)。

[全充]

yuyaさん、ありがとうございます。

>これで終わりにしてはいけないようだ
という結びの意図に 1/2はどこにいった？
という思いがあったわけで（慣性系シュバルツシルト解との比較考察も残っているのですが）

>回転系で考えたとき、遠心力によるポテンシャルは
>【-(rω)^2】ではなく、【-(1/2)(rω)^2】です。

なんですね。私の頭はそういわれたらそうだったかなぁレベルです。
でもなんで？なので回転系をちゃんと勉強します。

しかし、解析力学も中途半端、量子力学も中途半端、場の理論に入りたくて相対論でつまづいて

学生は大変やなぁこのあたりを1年で理解せなあかんのや
### 私が学生のころは原則3年で学部授業が始まり、
### 理論電磁気学、一般力学（含解析力学）、熱統計に量子力学
### が一気に始まったんですよ。（心ある学生は入学後手をつけていたようですが

[全充]

yuyaさんすいません、ちゃんと答えが書いてあったのですね。
読み流していました
>(遠心力は回転中心からの距離に比例し、0からrまで積分することになるので)。

[yuya]

単位質量にかかる 遠心力 r・(ω^2) を積分して、ポテンシャルは
-∫[0からr](r・ω^2)dr = - (1/2)(rω)^2 です。

[全充]

ありがとうございます。
今「濃緑のこだわり」から戻ってきました。