タイトル
【現代物理】 11/19（４元運動量)
相対論的運動方程式とは、
ローレンツ変換（＝ミンコフスキー空間の座標回転）に対して不変な運動方程式
１．ニュートンの運動方程式
これは、ガリレイ変換に対し不変であり、ローレンツ変換に対しては不変でない。
２．そこで、４元速度
ローレンツ変換に対して不変な「速度」を考える
速度は、「位置の変化／時間間隔」であるが、 普通の時間ｔは、４元ベクトルの第０成分ｘ0/c であり、 これでは、x0が特別扱いになり、ローレンツ変換に対しては不変にできない。
前回の結果、「世界間隔／ｃ」＝固有時τの間隔 であった。
そこで、４元速度として、
を考える。
固有時τはスカラーなので、v^μは、ｘ^μ と同様、ローレンツ変換に対して不変である
ｖの大きさは、
ｖ^μv_μ＝dx^μ/dτ dx_μ/dτ＝{ds/dτ}²＝{ｃdτ/dτ}²＝c² ＝ノルムが保たれる
∴ |v|＝ｃ
なんと、静止していても、ｖの大きさは、０ではないのです。
（まぁ、x0＝ｃｔなので、ｃが出てくるというだけですが） しかし、これから、静止していてもエネルギーを持っていることが言えるのです。
３．４元運動量
２の４元速度から、静止質量をm0 として、
を、４元運動量と定義する。
ｐ^1 ｐ² ｐ³ は、
ここで、m0γを、質量ｍ’と見れば、ｐ^1 ｐ² ｐ³ は、通常の運動量と解釈できる。
そうすると、 質量ｍ’＝m0γ となり、速度の関数になり、 m0＞０ ならば、速度＜ｃ つまり、光速を越えられない。 m0＝０ は、常に速度＝ｃ である（光子）
４．４元運動量の第０成分
なのですが、p0にｃを掛けたm0c²γの意味を考えてみます。
なので、
となり、第二項は、古典的運動エネルギー1/2 mv² です。
ということは、第一項から、静止していてもエネルギーを持っていることが言え、
これが、静止エネルギーm0c² です。
３で、m0γを、質量ｍとみなすとしましたので、
物体のエネルギーEは、一般に、E＝ｍｃ² となります。
また、ｐ^0＝m0γcは、元々 m0 dx^0/dτ=m0γ dx^0／dt ということですから、
ｐ^1 ｐ² ｐ³ と合わせて考えると、 ４元運動量ｐ^μ＝（E/c, p1, p2, p3）と書けます。
大きさは、
ｐ_μｐ^μ＝（-E/c, p1, p2, p3）（E/c, p1, p2, p3） ＝-E²/c² + p²＝-(m0c)² ＝ノルムが保たれる 移項すると、
E²＝(m0c² )²＋(ｃｐ )²
という関係が得られます。
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