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ブラウン運動等の、ランダムな動きを時系列で追いたい場合に使う微分方程式。

通常の微分方程式と違って、ランダムな値をとる関数R(t)が入っている。

ランダムな値が関係するなので、ある初期条件を与えても、解はひとつに決まらない。

したがって、解をたくさん作ったときの、確率分布の時間変化をみるということになる。

その確率分布がどういう方程式を満たすかというと、それがフォッカープランク(FP)方程式である。

FP方程式には、変位で2階微分した項が入っている。これが拡散を表していて、ランダムな項R(t)によるものである。

FP方程式の平衡解(それ以上確率分布が変化しなくなったときの解)が、存在するとき、それと、定常的な力の項(R(t)以外の項)に、簡単な式が成り立つ。

これが揺動散逸定理である。

これをブラウン運動と電気回路の熱雑音に適用すると、それぞれ、アインシュタインの関係式およびナイキストの定理が導かれる。

http://www.cmt.phys.kyushu-u.ac.jp/~A.Yoshimori/hiheik06.html
ここの授業ノートは非常に良くできています。非常にありがたいです。
本文は授業ノート2,3,4の要約です。

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