楽しい面積問題

問題　円内に任意に点を定め、その点を通る直線を45°間隔で４本引く。




するとこのような図になる。

境界線で赤、青と交互に色をつけていくとき、赤い部分の面積と青い部分の面積は等しいことを証明せよ。







これは難しい積分計算なんかを用いてもできるのだが、補助線を引くことで初等的に解くことも可能だ。

いま、４本の直線の交点は中心より左上にあるが、対称的に右上、右下、左下の同じ位置に点を取り、45°間隔で線を引く。


するとこのような図ができあがることになる。

ここから赤い部分と青い部分で同じ面積になる部分を探して行って、最終的に同じ面積になることを証明する。

その証明をgifを使って目で見えるようにすることを考えた。



それがコレである。

同じ面積になる部分が点滅して消えていく。最終的に赤と青は同じになることが示される。

昔「数学セミナー」という雑誌で出た問題で、これと同じ解答を見た。

その解答では補助線がこれより少なくて、どういった思考でその補助線を引いたのかわからなかったが、たくさん線を引いてみたらそれとなく見えた。

おおっ、なんかすごいような気がします。
積分計算で解く方法も想像もつきません。
そういえば、私、補助線いーっぱい引いてわけわからなくなっちゃうタイプでしたw。

やんちゃママさん＞積分計算は極座標積分を用いることになります。それ以外にも補題が必要だったりするんで難しいです。計算そのものは楽なんだけど原理が難しいです。補助線ってのは難しいですよね，経験つむことでセンスが養われます〜

もこぱぱさん、おはようございます♪

わぁ！面白い (*^_^*)
わかりやすくて勉強になりました！ ポチ☆

葵さん＞ありがとうございます♪なぜこの記事に反応！？って思ったんですが，ファン限定じゃない記事はこれが最新だったんですねw子供関連の記事が大半なので，ほぼファン限定の記事にさせていただいています。よろしかったら登録してください♪