姉妹カルテット♪ようやく育児は一段落!?

選挙の当選確実票数

そのまんま東が宮崎県の県知事に当選したようだが、今日は選挙の当選確実票数に関する問題。

知事選のように、当選者が一人の場合はわりと簡単。

当然ながら半数より多くの票を集めれば、相手の票数に関係なく当選が確定する。

この「相手の票数に関係なく自分の当選が確定する」最低票数を求める。

話を簡単にするために、３００人の有権者が投票することにする。

立候補者は１０人いて、このうち上位２人が当選することにする。

このとき当選が確定する最低票数はいくつになるだろうか？

ポイントは当選する、ということは必ずしも１位になる必要はないということである。

この場合は２位以内にくいこめば、それで充分なのである。

いくつか例を考えながら考察してみる。

（その１）２００票を獲得した場合

　残りの１００票を他の９人にどのように割り振っても、自分自身が１位になることが確定する。

　したがって当選確定。

（その２）１００票を獲得した場合

　残りの２００票が、誰か２人に１００票ずつ入った場合。１００票で３人ならぶので、２位以内が確定しない。

　したがって１００票では当選確定ではない。

（その３）１１０票を獲得した場合。

　残りの１９０票を他の９人に割り振ると、自分が２位になる可能性はある。

　例えば、１３０票の人と、６０票の人がいる場合がある。

　しかし３位以下になることはあり得ない。

　というのも、自分が３位以下になるためには、１１０票以上を獲得する人が最低２人いなければいけない。

　そのためには、残り票数が２２０票以上必要になるが、今１９０票しかないので不可能。

　したがって、１１０票あれば当選確定。

ここで少し話を一般的に

　自分がn票獲得したとする。

　残りの票数は300-n票

　自分以上に票を獲得した人が２人いるとまずい。

　つまり、票が2n票以上あまっているとだめ。

　したがって　300-n<2n　という不等式になり、これを解く。

　n>100　１００より大きい数になるので、１０１票が最低当選確定票数になる

　ということで答えは１０１票でした。

　基本的には、総票数を当選する人数より１だけ多い数で割った数より大きい数であれば充分。

　当選者が３人の場合は

　300÷4=75

　したがって７６票を獲得すれば充分。

　以上、選挙の当選確定票数の話でした。

もこぱぱさんが県知事になったら静岡県の学生達の数学レベルが一気にアップする事でしょう。

↑しかしながら女性関係のスキャンダルで任期を待たずして退陣へ・・・。

ジョーカーさん＞僕は自分で研究するのは大好きなんですが、生徒達に教えるのは実はあんまり好きじゃないのでその可能性は低いでしょうw

Yusukeさん＞そういうときのために、Yusukeさんに秘書になっていただき、スキャンダルの際は身代わりになってもらいます

[mic]

↑身代わりyusukeさんの恨みを買い、知事の暴露本が発刊され、知事は公私共に窮地に立たされる、と。。。 それにしても…ｎとか出てくるだけで私の脳が拒否反応を起こしてしまい、頭に文章が入ってきません(-_-;）

第５講

SOLVING BY TRIAL
6.Trial and error.Trial is an activity that is important and useful when solving a pure puzzle.This may invite the belief that solving a pure puzzle is a matter of accident, hence of luck;all that matters,it mught be argued,is whether one tries the correct thing earlier or later.This opinion is very wipespread,but quite incorrect,at least with regard to good puzzles,by which we mean puzzles which cannot in practice be exhausted by trial,to the extent of finding all the solutions.In solving a puuzle in which an excessive role is played by the element of tiral,notwithstanding all ingenuity,you may be lucky;but if you are lucky enough to find a solution,you still do not know whether this is the only solution,let alone how many solutions there are.If these questions form no part of the problem,and you are only required to find some solutions,then luck can indeed play its part.

In such a case,however,one should speak of a bad puzzle.Such a puzzle can be composed(that is,put to others)by someone who has no idea of puzzles himself.We should like to illustrate this with an example.Consider a figure composed of a number-40,say-of adjacent regular hexagons.Each of these hexagons is divided into 6 equilateral triangles by 3 diagonal connecting opposite vertices.Two triangle which have a side in common and which belong to different hexagons(which occurs a large number of times in the figure) are painted with the same color.Alltogether 3 or 4 colors,say,have been used, while the distribution of colors among the pairs of triangles is quite irregular. Now one cuts out the hexagons and interchanges them in a random way,also giving arbitrary rotations to individual hexagons.The figure thus obtained( with the hexagons in new positions,connected to each other again) is now presented as a puzzle.The problem woould be to cut out the hexagons and rearrange them to produce a figure with the same boundary,with like colors making contact everywhere.The person who poses the puzzle knows that success is possible,but knows nothing of solutions,when there may be many,perphaps millions.Such a thing is wrong.There is no proper idea behind puzzle.
The opinion that solving a puzzle is a matter of luck is usually found among people who have only a superficial interest in puzzles,and who have rarely or never taken trouble to solve a good puzzle by reasoning.The same opinion is sometimes held by people who do take pleasure in solving puzzles,but who are not sufficiently intelligent to replace-or,at any rate,supplement-haphazard trial and error by reasoning.Such a puzzle solver often does not remember which cases have already been tried,and which have not;he does the same job several times and overlooks other possibilities altogether.It is clear that this form of puzzle solving will not guarantee success.
Admittedly,of course,luck may play a role even in solving a pure puzzle by reasoning,if one happens to hit upon an efficient procedure.However the same thing may occur i n purely scientific work.Here,in place of speaking of lick,it would be better speak of an intution for finding the right path,or a feeling for the right method.

２節　実験で解く
６講　試行錯誤
　いろいろと実験してみることは数理パズルを解くことにおいて，重要かつ有用なことである。こう言ってしまうと，数理パズルを解くことは運に作用されるアクシデント的なものであるという見解を導いてしまうかもしれない。つまり早くその試みを行うかどうかの問題であるかもしれない，ということが言われてきた。この意見は広くひろまっていることであるが，まったく正しくないのである，少なくともよいパズルに関しては。ここでいうよいパズルというのは，すべての可能性を探らなくてもすべての解を得ることのできるパズルのことである。基本的な部分でいきなり極端な発想をしなければならないようなパズルにおいては，幸運が必要になるかもしれない。しかし，もし解を見つける運を持ち合わせていて，それが唯一の解であるかを検証する必要がなく，いくつ解があるかを調べなくてもよい，という状況だったら，それは運まかせといってよいだろう。
　しかし，そのような場合は悪いパズルと呼ぶことにしよう。そのようなパズルはパズルのことをよくわかっていない人にも作ることができてしまう。一つ例をとってみよう。４０個の接している正六角形を考えてみよう。それぞれの正六角形に中心を通る３本の対角線を引くことで，６個の正三角形ができる。そして辺を共有していて，互いに別の正六角形の属する正三角形を同じ色で塗っていく。ここでは３，４色の色を使うことにしよう。そして，正六角形を切り離し，場所をいろいろ変えて，回転もさせる。これでパズルのできあがりである。

これを，最初の条件を満たすように並べ変えたり，回転させるのである。この問題を作った人は，解が存在することは知っているが，それが唯一の解であるかを知るすべはない。そのようなことはあまり理想的でないし，パズル的な考えではない。
　パズルを解くのは運の問題だ，という人はたいていパズルにたいして表面上の興味しか持っていない人たちだ。そしてそのような人はよいパズルを理論的に解くことはほとんど，というかまったくできないのである。同じことがパズルを解くのを楽しみにしているが，十分賢くないために偶発的な試行錯誤によって解く人たちにも言えることである。そのような人たちは，どんな場合を試みて，まだどんな場合を試みていないかをよく覚えていない。したがって同じ手順をくり返したり，重複して解を得たりしてしまう。このような解き方は必ず解を得るという保証がない。
　もちろん数理パズルを特にあたって多少の運は必要かもしれない，それはどういうことかいうと，何か能率のよいアイデアが浮かぶかもしれないということである。しかしながらこのようなことは自然科学においても起こりうることである。ここでは運と言うかわりに，洞察力，あるいは感覚などと言った方がよいのかもしれない。

第４講

4.Puzzle games.
We imagine a game that is played by two persons,John and Peter;we asssume that luck plays no part (no more than with chess or draughts).John and Peter make moves in turn,and the winner is the one who succeeds in achieving a certain result.Often such a game is so complicated (again I mention chess and draughts) that it is imposssible for a human being to analyze it competely.The game is then different from a puzzle;making a complete analysis could be called a puzzle,but as this puzzle is unsolvable (in the sense that it is too difficult),it has to be left out of consideration.
If the game is so simple that it can have a complete analysis,we speak of a puzzle game.As an example we mention the well-known children's game of noughts and crosses,which will be discussed in Chapter 3.This will show that surprisingly many elegant combinations are contained even in such a seemingly very simple game.The laboriousness of the complete treatment of this game shows quite clearly the impossibility of similary disposing of much more complicated games like chess and draughts.Chapter 3 can further be considered as an example pf a complete analysis of a puzzle game.
The interest of a puzzle game is,of course,lost when both players have seen through it completely.However,a game like chess will never lose interest in this way,although several puzzles and puzzle games can be derived from it.An endgame that is not too complicated can be considered as a puzzle game.A related puzzle is the problem of the smallest number of moves in which mate (or sometimes the promotion of a pawn) can be enforced by White;here it is assumed,of course,that Black puts up the strongest possible defense,playing in such a way that the number of moves becomes as large as possible.
The last-named puzzzle pffers another example of a case in which one can easily mistake an incorrect abswer for a correct one(cf section2).For,in a not too simple endgame,it may very well happen that even an experienced chessplayer will wrongly consider a certain sequence of moves to be the shortest possible one.

４講　パズルゲーム
　２人の人，ジョンとピーターで遊べるゲームを考えよう。チェスなどのように運に左右されないものを考えたい。ジョンとピーターは順番に行動し，ある状態になった一方が勝者となる。なかには人間では完全に分析しきれないほど複雑なゲームもある。そのようなものはパズルとは違う。完全に分析しきれるものをパズルと呼び，解くことのできないものは考慮しない。
　完全に分析しきれるほど簡単なゲームをパズルゲームと我々は呼ぶ。よく知られているのは第３章で述べる，子供達に人気の○×ゲームだ。こんな簡単にみえるゲームの中にさえ，エレガントな組み合わせも含まれている。このゲームを完璧に分析してみると，チェスのようなものは分析しきれないほど大変なものであることがわかると思う。第３章は完璧な分析とはほど遠い。
　もちろん，２人がそのゲームを完全に分析しきってしまたら面白みはなくなる。チェスなどを起原とするパズルはたくさんあるが，人々のチェスに対する興味は薄れることはない。例えばつめ将棋のようなものはいくらでも手数を大きくできる。
　先のゲームは，誤答を正答と勘違いしやすい例である。簡単すぎないつめ将棋においては，慣れた人でさえ，最小手数でないものを最小手数であると間違いやすい。

第３講

3.Remarks on pure puzzles.
No very sharp line can be drawn between pure puzzles and formal mathematics.In mathematics,too,questions occur that have more or less the character of a puzzzle.Whether one speaks of a mathematical problem or of a puzzle,in such a case,depends on the significance of the question(and,to some extent,also on the nature of the reasoning that leads to the solution);and it is particially a matter of taste as well.On the other hand,there are problems that impress everyone as puzzles,but which still allow a fruitful application of mathematics(in particular,of arithmetic).The greater your skill un arithmetic,the less time it will take you to find solution.The puzzle with squares in section 229 and 230 provide a striking example of this.
A puzzle can be considered as uninteresting when the data and the question can without difficulty be put into the form of equations by anyone who has some knowridge of algebra,to let the unknown(s) be found from solution of the question(s).A mathematician is not in the least interested in such a puzzle,whereas a good puzzle should satisfy the requirement that it can arouse an experienced mathematician's interest,too.As an example of a puzzle which ought rather to be called a dull problem in algebra,let John ask Peter to think of a number,add 15 to it,multiply the sum by 3,subtract 6 from the product,and divide the defference by 3.Peter then has to announce the quotient,after which John is to determine what number Peter had thought of.Obviously it is 13 less than the quotient mentioned by Peter.The puzzle may be modified by requiring Peter to subtract his first number from the quotient obtained.Without Peter needing to say anything,John will then able to say that the final result is 13;however,now it is imposible for John to know what number Peter had thought of,since every number leads to 13 after the operations in question.
How little interest these puzzles have,is also evident from the fact that they can be varied endlessly.One can make them as complicated as one pleases,and also allow the other person to think of more than one number.

３講　数理パズルに関する注意
　数理パズルと数学の境界線は正確には定められない。数学の問題にも数理パズル的な要素があったりなかったりする。数理パズルの問題か数学の問題であるかは，その問題の重要性に関係してくる。（少し拡張すれば，解にいたる理由の性質にもよる）そして，印象の問題でもある。これに対して，誰にとっても数理パズルであると感じるものもある，しかしそのような場合においても数学の関連（というよりは算数）である。あなたが算術に長けている程，解を見つけるまでの時間は少なくなることでしょう。２２９，２３０講で出てくる正方形の例はまさにこれにあてはまります。
　代数の知識が少しある人にとって，方程式を解くことで簡単に解を得られるようなパズルは興味を大してひかないことでしょう。よいパズルは経験を積んだ数学者の好奇心をあおるのにたいして，数学者がさきほどのような簡単に解けるパズルを一番つまらないと感じている人たちとは言い切れない。代数におけるこのようなつまらないパズルの例は，ジョンがピーターにすきな数を思い浮かばせます。そしてそこに１５を加えて，その和に３をかけます。そこから６を引いて，３で割ります。ピーターはその商を答え，ジョンはそれを聞いて，ピーターが最初に考えた数を言い当てます。明らかにこの数は始めにピーターが考えた数よりも１３多い数です。このパズルを少し変形して，ピーターにさらに始めに考えた数を引くように指示することもできます。ピーターが何もいうことなしにジョンはその結果は１３であると言い当てることもできますが，ピーターが始めにどんな数を思い浮かべたかは知り得ません。どんな数にしろ結果は１３になるので。
　このようなパズルがどれほど面白くなくても，変化をつければ幾らでも作れます。その人のすきなように複雑化でき，１つ以上の数を思い浮かべさせることもできます。

第２講

2.Pure puzzles.
While a literary puzzle is linked to a definite language,or sometimes to a few languages,this is not the case with a pure puzzle.With a pure puzzle,the question can be translated into any language,without the nature of the puzzle changing in any way.When solving a literary puzzle,you need some information that you cannot deduce on your own.With a pure puzzle,too,you often have to have a fund of knowridge,but this is mostly of such a nature that you yourself can discover what you need,if you are sufficiently intelligent.
A pure puzzle usually has a numerical,sometimes also a more or less geometrical content.The puzzle can be solved by pure reasoning alone.It is also typical of such a puzzle that it can always be decided with certanty whether the solution is correct.In many cases this can be determined easily and it is then practically out of the question that a wrong solution will be accepted in place of the correct one.Usually either you do not find a proper solution,or else you obtain the correct solution(or,it may be,one of the correct solutions),althogh it is always possible that persons lacking in self-criticsm will consider a wrong solution to be correct.
Yet there is a kind of pure puzzle where an incorrect solution can be mistaken for a correct one,without this implying lack of self-criticism.As an example we mention the case of a puzzle which has more than one solutions,where all solutions are required.It may also happen that the solution is required to be one for which a certain number(for example,the number of corners in a figure to be formed from dominoes that fit together in a certain manner) is as large or as small as possible.Is such a case,the possibility exists that something has been overlooked,so that some solutions are found,but not all the solutions.The solution for which the number in question is maximum or minimum might happen to be along the solutions that have been overlooked; the supposed solution is then incorrect,without this necessarily implying a lack of intelligence.
Another example of tha same nature occurs when the problem requires tha smallest number of operations(for example,in moving cubes)by which a certain result(for example,a given final position of the cubes)can be obtained.
We call these operations "moves".In a case like this it may happen that a certain move has been overlooked,or discared too quickly because,considered superficially,it seemed unpromising.

２講　数理パズル
　言葉遊びは限られた言語体系の中でしかできないのに対して，数理パズルはこれにあてはまらない。数理パズルは，その内容を変えることなく任意の言語に翻訳することが可能である。言葉遊びに関しては，あなたが一人で推論できる程度の情報だけでは物足りない。もちろん数理パズルにおいてもそれは同様ではあるが，あなたが十分に聡明であれば，自分自身で発見できる。
　数理パズルには数を扱うものや，幾何を取り扱うものもある。そしてパズルは自然な理由付けによってのみ解かれるのである。解が正しいかどうかについても確実にきめられることもその特徴である。これは多くの場合に容易にわかることで，間違った解を正答としてみなしてしまうことはありえない。自己批判の意識に欠けた人は間違った解を正答とみなしてしまう可能性もあるが，たいていの場合は適切な解を求められないか，正答を得る（たくさんあるうちの１つでしかない可能性もあるが）かのどちらかである。
　自己批判の意識に欠ける，ということに関係なく，誤答を正答と勘違いしやすいタイプのパズルもある。例としては，２つ以上の解をもつ問題においてすべての解を求めなければいけない問題である。あるいは答えが１つしかないということも起こりうる，例えばある法則に従って並べられたドミノ牌の数の和の最大値あるいは最小値など。そのような場合，重複してカウントしてしまう可能性もある，したがっていくつかはみつかるが，すべてではないこともある。問題における数が最大か最小であるかの解答は重複していることがある。聡明さに欠けることとは関係なく，得られた解が正しくないことがあるのだ。
　このようなことは，ある結果に辿り着くまでの手順の最小回数を求める問題においても起こりうる。我々はこのような操作を「move」と呼ぶことにする。このような場合において，重複してしまうことや，見通しがよくないという理由であまりにも早く可能性を破棄してしまうこともありうる。