授業がんばりMATH

毎日の算数授業奮闘記をお伝えします。

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オイラーの多面体定理

イメージ 1 角柱の「頂点」「辺」「面」の数を調べる時間の時です。昨年と同様にhttp://blogs.yahoo.co.jp/tamusi22/26197500.htmlそれぞれの数を式で表現させていたときのことです。五角柱の辺の数を考えるとき,ほとんどの者が「5×3」としているのですが,一人だけ「7+10−2」と言うのです。
 授業では「−2」って何なのか,ということが話題になり,誰も説明できないまま終了しました。7は面の数で,10は頂点の数なのですが,「2」の意味がはっきりしないのです。これは小学生にとっては当然のことです。実はこの式は「オイラーの多面体定理」を利用しているのです。私はすぐに意味が分かったのですが,小学生では触れる必要がないと思い,帰納的に「確かにどこでもそうなってるね。」で流しました。
イメージ 2 オイラーの多面体定理とは左のような定理なのですが,なぜこうなるのか。また「2」の意味は何なのかはなかなか難しい問題です。私はこの2は「植木算の1」と「空間の1」と思っています。今日はこの定理を教材研究してみたいと思います。

イメージ 3 左のような状況はよく問題にされます。点の数と辺の数は1ずれてしまうことは誰でも知っていることです。これが私の言う「植木算の1」です。

イメージ 4 これがつながって「閉じてしまう」と点の数と辺の数が同じになります。啓林館の教科書には「人文字」としてこのことが使用されています。でも場合によって計算結果が「1」になったり「0」になったりするのは数学では「気持ち悪い」ことです。そこで「閉じる」ことでできる「平面」に目をつけてみます。この1つの平面を足してやれば先と同じ「1」になります。さらに先の状況では平面ができていませんので「0」を足すと考えれば同じ考え方で先の式も成り立っています。このように考えるのを「拡張の考え」と言います。新たな条件が加わったことを先の条件も含めて一般化することです。
イメージ 5 さらにこれを「空間」に広げてみます。角柱でも錐体でも多面体でも何でもかまいません。先の式を適用させると「2」になってしまいます。気持ち悪いので新しくできたのは何かを考えると「空間」ができています。そこでそれを「引いて」やると同じ「1」になります。ここまで考えてきたことはすべて「1」で統一できています。ただ私が考えた「空間」を考えなければ「オイラーの多面体定理」の「2」になります。だからもう一つの「1」を「空間の1」と言ったのです。
 ここでもう少し発展させてみます。私たちには分からない「四次元空間」がもしあったとします。すると私が進めてきた式の並び順にいくと「足し算」になるはずで左のような公式が成り立つはずでしょう。こんなことは実際には経験できないことですが「きっとそうなるだろう。」と納得できるのではないでしょうか。これを原弘道先生は「先験化の考え」と呼んでいたのを思い出します。位相的な考え方の基礎といえるのかもしれません。

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とても詳細なご報告をありがとうございます。
とても素晴らしい教材研究ですね! ☆

2010/7/15(木) 午前 8:26 [ みんなの森 ]

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