電験勉強部屋(対称座標法)part2

ここからは途中です。part1から見てください。

○基本公式と重ね合わせ図(再掲示)

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2-3-3.インピーダンスの対称分

上でインピーダンスがZ,Z0,Z1,Z2のように表わされていますが、全て物としては同じインピーダンスです。

三相回路のインピーダンスも対称分回路のそれぞれのインピーダンスは物としては同じものです。

各々の回路でインピーダンスが(物としては)同一なので重ね合わせ則が成立するのです。(物としての)インピーダンスが異なれば当然、重ね合わせ則も成立しません。

ただ、ちょっと変な感じです。何故、回路によってインピーダンスの値が変わるのか?
先ほども述べたように電線の相互インダクタンスのためと言えます。実際には三相回路の要素としては電線だけではありません。発電機もあるし、負荷としての電動機もあります。送電線と同様に発電機や電動機も各対称分インピーダンスで値が変わってきます。

このようにインピーダンスは流れる電流によって値が変わってきます。
本来なら

Z=Z(Ia,Ib,Ic)

このようにインピーダンスの値は電流Ia,Ib,Icの関数になっていると言えます。ただ、このように変数が3つもある関数は大変なので3つの対称分に分けることによって、そのそれぞれではインピーダンスは定数となるのでその3つの対称分回路を重ね合わすことによって元の回路を表そうとしています。

対称分インピーダンスとは何か?

零相インピーダンス:零相電流を流した時のインピーダンスの値

正相インピーダンス:正相電流を流した時のインピーダンスの値

逆相インピーダンス:逆相電流を流した時のインピーダンスの値

そして、もっとも大事なことは

対称分インピーダンスは定数である。

零相インピーダンスも正相インピーダンスも逆相インピーダンスもa相、b相,c相の電流には制限が付くものの電流の大きさに関係なく定数となります。

補足:同期機の同期インピーダンスは正相インピーダンスと同一です。普通は同期インピーダンスと言いますが、逆相インピーダンスや零相インピーダンスと区別したい時は正相インピーダンスと言います。とにかく平衡三相回路で使われているインピーダンスは全て正相インピーダンスのことです。逆相や零相と区別が必要な場合のみ正相インピーダンスと呼ばれています。

ちょっと簡単な三相回路のモデルを考えます。

線路インピーダンスは抵抗R,自己インダクタンスL,各電線間の相互インダクタンスMとする。、その他の物理量は無視できるとします。

Ea
=(R+jωL)Ia+jωMIb+jωMIc
=(R+jωL)Ia+jωM(Ib+Ic)

Eb
=(R+jωL)Ib+jωMIc+jωMIa
=(R+jωL)Ib+jωM(Ic+Ia)

Ec
=(R+jωL)Ic+jωMIa+jωMIb
=(R+jωL)Ic+jωM(Ia+Ib)

○零相電流を流した場合

Ea
=(R+jωL)I0+jωM(I0+I0)
=(R+jω(L+2M))I0
=Z0 I0

∴Z0=R+jω(L+2M)　定数[この式に電流が入っていないので定数]

Eb
=(R+jωL)I0+jωM(I0+I0)
=(R+jω(L+2M))I0
=Z0 I0

∴Z0=R+jω(L+2M)　定数

Ec
=(R+jωL)I0+jωM(I0+I0)
=(R+jω(L+2M))I0
=Z0 I0

∴Z0=R+jω(L+2M)　定数

この回路に零相電流(Ia=Ib=Ic=I0)を流した時はインピーダンスはIa=Ib=Ic=I0さえ電流が満たせば電流の値に無関係に定数になり、その時のインピーダンスを零相インピーダンスと言う。このことはこのモデルだけでなく一般的にも言えます。以下、正相回路、逆相回路についても同様です。

○正相電流を流した時

Ea
=(R+jωL)I1+jωM(a^2 I1+a I1)
=(R+jωL)I1+jωM(a^2+a)I1　　　　　[a^2+a=-1を代入]
=(R+jωL)I1+jωM(-I1)
=(R+jω(L-M))I1
=Z1 I1

∴Z1=R+jω(L-M)　定数[この式に電流が入っていないので定数]

Eb
=(R+jωL)I1+jωM(a^2 I1+a I1)
=(R+jωL)I1+jωM(a^2+a)I1　　　　　[a^2+a=-1を代入]
=(R+jωL)I1+jωM(-I1)
=(R+jω(L-M))I1
=Z1 I1

∴Z1=R+jω(L-M)　定数

Ec
=(R+jωL)I1+jωM(a^2 I1+a I1)
=(R+jωL)I1+jωM(a^2+a)I1　　　　　[a^2+a=-1を代入]
=(R+jωL)I1+jωM(-I1)
=(R+jω(L-M))I1
=Z1 I1

∴Z1=R+jω(L-M)　定数

この回路に正相電流(Ia=I1,Ib=a^2 I1,Ic=a I1)を流した時はインピーダンスはIa=I1,Ib=a^2 I1,Ic=a I1さえ電流が満たせば電流の値に無関係に定数になり、その時のインピーダンスを正相インピーダンスと言う。このことはこのモデルだけでなく一般的にも言えます。

○逆相電流を流した時

Ea
=(R+jωL)I2jωM(a I2+a^2 I2)
=(R+jωL)I2+jωM(a+a^2)I2　　　　　[a^2+a=-1を代入]
=(R+jωL)I2+jωM(-I2)
=(R+jω(L-M))I2
=Z2 I2

∴Z2=R+jω(L-M)　定数[この式に電流が入っていないので定数]

Eb
=(R+jωL)I2+jωM(a I1+a^2 I2)
=(R+jωL)I2+jωM(a+a^2)I2　　　　　[a^2+a=-1を代入]
=(R+jωL)I2+jωM(-I2)
=(R+jω(L-M))I2
=Z2 I2

∴Z2=R+jω(L-M)　定数

Ec
=(R+jωL)I2+jωM(a I2+a^2 I2)
=(R+jωL)I2+jωM(a+a^2)I2　　　　　[a^2+a=-1を代入]
=(R+jωL)I2+jωM(-I2)
=(R+jω(L-M))I2
=Z2 I2

∴Z2=R+jω(L-M)　定数

この回路に逆相電流(Ia=I1,Ib=a I1,Ic=a^2 I1)を流した時はインピーダンスはIa=I1,Ib=a I1,Ic=a^2 I1さえ電流が満たせば電流の値に無関係に定数になり、その時のインピーダンスを逆相インピーダンスと言う。このことはこのモデルだけでなく一般的にも言えます。

○このように対称分電流を流した時は対称分の条件さえ電流が満たせばどのような電流をインピーダンスに流そうがインピーダンスは定数[電流の値に無関係になる。]になり、それを対称分インピーダンスと言う。

このように3つの対称分に分けることによってインピーダンスが電流の関数でなく、定数になる。このようにインピーダンスが定数になるので不平衡三相回路では通常、対称座標法が使われています。

○一般的には送電線の正相インピーダンスと逆相インピーダンスは一致します。

一般的には送電線:正相インピーダンス = 逆相インピーダンス

但し、発電機・電動機の正相インピーダンスと逆相インピーダンスは一致しません。

発電機・電動機:正相インピーダンス≠逆相インピーダンス

これは正相インピーダンスとは普通に運転している時のインピーダンスです。逆相インピーダンスとは逆回転している時のインピーダンスです。正回転の場合、回転子の回転方向と回転磁界とは同じですが、逆回転の場合は逆になるので正相インピーダンスと逆相インピーダンスは値は違ってきます。

一般に同期機の場合

正相インピーダンスZ1 > 逆相インピーダンスZ2 > 零相インピーダンスZ0

になります。

○基本公式と重ね合わせ図(再掲示)

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2-4.発電機の基本式

発電機の基本式は知っていても中にはこの公式の意味をまったく知らない人もいるかも知れません。
通常、発電機の基本式は上の3つの公式として示されますが本当は9つあります。

○零相回路

・a相
V0=-Z0 I0
・b相
V0=-Z0 I0
・c相
V0=-Z0 I0

○正相回路

・a相
V1=E-Z1 I1 [但し、Ea=E]
・b相
a^2 V1=a^2 E-Z1 a^2 I1　　　[但し、Eb=a^2 E]
・c相
a V1=a E-Z1 a I1　　　[但し、Ec=a E]

○逆相回路

・a相
V2 = -Z2 I2
・b相
a V2 = -Z2 a I2
・c相
a^2 V2=-Z2 a^2 I2

○このように発電機の基本式とは各対称分回路の各相を抜き出した一相分の回路で成立する公式のことです。3×3で全部で本来は9個あるのですが、b相、c相はa相がわかれば、すぐにわかるので普通はa相の3つの公式を発電機の基本式と呼んでいます。3つわかれば情報としては全てです。残りの6つはこの3つを定数倍しているだけで独立した情報は含んでいません。

2-5.インピーダンス

2-5-1.発電機

零相、正相、逆相全て異なる。

Zg1>Zg2>Zg0　です。

2-5-2.送電線

○抵抗

零相、正相、逆相全て同じ。

○インダクタンス

正相、逆相同じ。

Z1=Z2=j(Xs-Xm)=jω(L-M)

零相。

Z0=j(Xs+2Xm)=jω(L+2M)

○静電容量

正相、逆相同じ、但し、1線と中性線間。

Y1=Y2=jω(Cs+3Cm)

零相。

Y0=jωCs

○接地インピーダンスZn

正相、逆相ともに0。

Z0=3Zn

2-5-3.変圧器

○接地

Y結線の接地電流　⇔　Δ結線の循環電流

○非接地

非接地:零相回路は開放になる。

2-6.対称座標法を使わないで済む場合

零相インピーダンス=正相インピーダンス=逆相インピーダンスの時、オーム則等で求めることができる。

対称座標法使わないで済む場合: Z0 = Z1 =Z2　の時

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[対魔忍]

b及びc相の二相短絡で、a相電流を零として計算するのはなぜでしょうか…⁉
中性点接地されてたら流れるのでは

[ces*cog*to*erg*_s*m]

> 対魔忍さん
コメントありがとうございます。回答は暫しお待ちください。