ギズの屋根裏部屋

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1000個の電球の問題

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今日はコマネチ大学数学科の問題に挑戦してみる。
問題はガスコン研究所から拝借させていただきました。
しかしこのシリーズ半端なく難しいんですよね(´・ω・`)
できるだけ簡単そうなのを選択。

問題
1〜1000の数字が振られている1000個の電球がある。すべてOFFの状態の始めて、
1の倍数、2の倍数、3の倍数……1000の倍数まで該当する電球のON、OFFを切り替えていくと、
最後に点灯している電球は何個か?

例えば、2番の電球は、1と2のときにスイッチを押すので、ON→OFFだから点灯していない。
逆に、1番の電球は1のときにしか押さないからONの状態である。

さて、ギズ式解法ということでとりあえず手を動かしてみる。
1はON、2はOFF、3はOFF、4はON、5はOFF...と、あるところで、
パターンを見つけたので終了。解答を見ると正解でした。

まさかこんな人海戦術が通用するとは(;^ω^)
※答えを知りたい方はガスコン研究所へGO!

しかし、ここからギズは悩んだのです。
以下ネタバレにつき注意
















なんでこの平方数の因数だけ奇数個なのか?
というわけで、今日の大学からの帰り道はこの点について考えることにした。
寒空の下を考えながら歩いていると、ふとひらいめいたのです。

これって因数の性質として当然じゃん(´・ω・`)

そもそも因数は、その因数ともうひとつの因数を乗じれば元の数になる仕組み。
例えば、6なら、1×6、2×3の組み合わせで4個だ。
だから基本は2n個の因数がなければならない。

だが、平方数はそのうちの組み合わせの1つがa×aになっているから重複で1個減るのだ。
例えば、16は、1×16、2×8、4×4なので5個しかない。
というわけで平方数だけ因数の数は2n-1である。

うーむ、なんとか奇跡的に解けた。

ちなみにドラクエの世界における地球の形状を考えるという問題もあったので、
お暇な方はそれも見てみて下さい。

問題を文章で書くと「星を平面図に展開したとき、北へ直線方向に進むと南から出てきて
同一地点に到着し、東へ直線方向に進むと西から出てきて直線方向に進むような星の形状は?」

ちなみに、球形(要するに私たちの地球型)は×です。
というのは、地球を平面図に展開してから北へ直線方向に進むと、南からではなく
北から出てきてしまうからです(アメリカを北上し続けるとアジア大陸の北に出る)。

そうか、ドラクエの世界はこういう形をしてるのか( ^ω^)

P.S.
ちなみに冒頭のサイコロは世界最速のサイコロらしいです。
チタン製、各面の重量一致度がほぼ100%。
部長、イカサマ防止のためにぜひ買っていただきたい( ・ω・)ノ
1セット5万円だけど。



文責 ギズ

閉じる コメント(2)

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コマネチ大学はいい番組ですね。
それにしてもオイラーはとんでもなく偉大な数学者ですね。
数学者の中で一番好きです。 削除

2009/1/12(月) 午前 0:30 [ 中野 ] 返信する

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オイラーは18世紀で一番の数学者みたいですね。
うーん、凄い><

2009/1/12(月) 午後 9:32 [ ギズ ] 返信する

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