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ε＝ｈν，ｐ＝ｈ/λ の相対論的な明確化
上式は、運動エネルギーε運動量ｐを持つ古典粒子に伴うド・ブロイ波の振動数νと波長の関係を示す。(逆に波に粒子が伴うとしてもよい)
まず１次元で波長λ，振動数一定の単色進行波がＸ
軸を正の向きに進んでいる場合を考える。
角波数(長さ２πｍ内に含まれる波の数)ｋは
ｋ ≡ ２π/λ --- (1)
と定義される。 (通常は波数としては、ある地点で長さ１ｍ内に含まれる波の数 ｋ＝１/λと定義される)
角振動数(時間２πsec内に振動する回数)ωは
ω ≡ ２π/Ｔ --- (2)
と定義される。 (通常は角振動数よりは、ある地点で時間１sec内に振動する回数＝振動数ν＝１/Ｔ と定義される)
※ ｙ＝Ａ・exp {2πｉ・(ｘ/λ−ｔ/Ｔ)}
＝Ａ・exp { ｉ・(ｋｘ−ωｔ)}
大気中の音波や真空中の電磁波のＶpは、波長
(波数)に依らずに一定値である。しかし一般的に
は媒質中ではＶpは一定値とは限らず波長によって
異なる。(分散)
ところで一般に波束の群速度Ｖgは、角振動数ω(ｋ)が
既知の場合には
Ｖg≡∂ω(ｋ)/∂ｋ --- (3)
と定義されている。(何故かく定義するかは後日へ)
またこの波全体の移動速度＝位相速度をＶpとすると
Ｖp≡ ω/ｋ ＝νλ --- (4)
と定義される。
- - - -
ここで ℏ＝h/2π として(3)式に
ε＝ｈν＝ℏω ，ｐ＝ｈ/λ＝ℏｋ ()
を代入すると
Ｖg ≡∂ω(ｋ)/∂ｋ
＝∂(ε/ℏ)/∂(ｐ/ℏ)
故にド・ブロイ波の場合は
Ｖg＝∂ε/∂ｐ --- (5)
但し ε＝運動エネルギー に注意！
が一般的に成り立つ。
一方位相速度Ｖpは Ｖp ≡ω/ｋ
＝ (ε/ℏ)/(ｐ/ℏ) ＝ε/ｐ
故に
Ｖp＝ε/ｐ --- (6)
但し ε＝運動エネルギー に注意！ も一般的に成り立つ。
Ａ）ニュートン力学の場合
ε＝1/2・ｍＶ^2，ｐ＝ｍＶから
ε＝ｐ^2/２ｍ --- (7)
なる関係が得られるから(5)式に代入すると
Ｖg＝ｐ/ｍ＝Ｖ
となって
群速度＝ニュートン力学粒子速度
となる。
位相速度は(6)に代入して
Ｖp＝ε/ｐ ＝ ｐ/２ｍ ＝ ｍＶ/２ｍ ＝ Ｖ/２
となって
位相速度＝ニュートン力学粒子速度の半分
となる。
Ｂ） 相対論の場合
ｍ：静止質量 V:粒子速度
運動量ｐ
ｐ＝ｍＶ/√{１−(Ｖ/ｃ)^2}＝γ(Ｖ)ｍ・Ｖ
運動エネルギーε
ε＝γｍ・ｃ^2ーｍｃ^2
＝(γー１)ｍｃ^2＝γ'ｍｃ^2
ただし γ'＝γー１
からＶを消去すると
ε＝ √{ (ｐｃ)^2＋ｍ^2ｃ^4 } ー ｍｃ^2 --- (8)
という有名な式になる。
さてこれを(5)に代入すると
Ｖg＝ｐｃ^2/√{ (ｐｃ)^2＋ｍ^2ｃ^4 }
＝ｐｃ/√{ ｐ^2＋ｍ^2ｃ^2 }
＝γｍＶ・ｃ/√{ (γｍＶ)^2＋ｍ^2ｃ^2 }
＝γＶ・ｃ/√{ (γＶ)^2＋ｃ^2 }
Ｖ＝βｃ を代入
＝γＶ/√{ (γβ)^2＋１ } ＝ ・・
＝Ｖ --- (9)
つまり相対論でも群速度＝粒子速度である。
次に位相速度Ｖpは、(8)を(6)に代入すると
Ｖp＝ε/ｐ
＝ [√{ (ｐｃ)^2＋ｍ^2ｃ^4 } ーｍｃ^2]/ｐ
ｐ＝γｍＶ を代入
＝ [√{ (γｍV・ｃ)^2＋ｍ^2ｃ^4 } ーｍｃ^2]
/ γｍV
ｍで除し、ｃをくくり出す
＝ ｃ・[√{ (γV)^2＋ｃ^2 } ーｃ] / γV
V＝ｃβ
＝ ｃ^2・[√{ (γβ)^2＋１} ー１] / γｃβ
＝ ｃ ・[√{ １/(１−β^2)＋１} ー１] / γβ
＝ ｃ ・[ γ ー１] / γβ
＝ (γー１)/γ ・(ｃ^2/V) --- (10)
となる。
※ ニュートン力学ではγ→ １であり、
そのとき Vp → V/２ となって一致する！
※ γ→∞ なら Vp → V（＝Vg）→ ｃ となって
光速に限りなく近づくと Vp＝Vg → ｃ とな
る。
アインシュタインの関係式 ε＝ｈν のεとは
粒子の全エネルギーから静止エネルギーを除い
たエネルギー＝運動エネルギー＋位置エネルギー
のことだ。
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予想通りだった ！
2019/5/3(金) 午前 1:51 [ cqf*234* ]
位相速度の計算は疑問です。
[√{ (ｐｃ)^2＋ｍ^2ｃ^4 } ーｍｃ^2]/ｐ
＝ ｐｃ^2/[√{ (ｐｃ)^2＋ｍ^2ｃ^4 }＋ｍｃ^2]
で逆有理化してVpの式を導出していますが、そのまま計算しても
Vpの式が得られます。その結果の式は
(γ−１)ｃ^2/γｖ
となると思います。
この2つの式は当然等しいのでイコールで結びつけると、Vは一意に決まることになります。これはおかしなことになります。
位相速度とは、波形の変化の速度を意味するので。そこには物質があることになります。電子などの粒子はその本質が波動であっても局在化しているはずです。つまり波形の変化など、エーテルの存在を認めない限り、考えられないでしょう。
ちなみに、私はエーテルが存在していると思っていますが(アインシュタインも主張しています)、その場合、エーテルの位相速度が考えられます。しかし、エーテルの存在自体、観測されていない以上(ヒッグス場が実験で確かめられたとしていますが…)、この段階で考慮できないでしょう。
2019/5/3(金) 午後 1:32 [ bak*33*1 ]
＞ (γ−１)ｃ^2/γV となると思います。
えー確かにそうですね (^^)
後で直しておきます。
しかしVが小さいときはｃ^2/V の係数は
(γ−１)/γ＝１−１/γ＝１−√(１−β^2)
≒１−{１−1/2・β^2}＝1/2・(V/ｃ)^2
となってやはり Vp＝V/２ になります。
V→ｃでγ→∞ なので、Vp → ｃ となってます。
2019/5/3(金) 午後 2:56 [ cqf*234* ]
＞位相速度とは、波形の変化の速度を意味するので。そこには物質があることになります。
純論理的にはどうでしょう？
一定波長λの１次元単色進行波がX軸上の正方向に伝わっている場合を考えます。
軸上のある点X=Pを通過する波の位相速度Vpは
Vp≡単位時間に通過する波の数×波長
＝νλ
と定義可能でしょう。
この場合、「媒質」とか「媒質を構成している物質」などの概念は不要です。
媒質や媒質の物質はあれば理解が深まりますが
純論理的に必須ではないでしょう。
事実電磁波の媒質は不要です。
とはいえド・ブロイ波の媒質が存在するとしたら
それは何だろう？ は気になりますね。
2019/5/3(金) 午後 4:52 [ cqf*234* ]
電磁波の場合ｍ＝０で物質がないとできますので、エーテルのような者は考える必要が無いでしょう。しかしｍ≠０である以上そこに物質がないと波も存在しないことになります。電子などは局在化された波束が移動すると考えるべきでしょう。
ただし、場を量子化すると無限大自由度の量子化された波が等重率の原理で重ね合わせれていますので、観測者は位相速度を観測できることになります。
しかし、例えば外山実験の様に1個1個の電子を飛ばしたとき、観測されるのは群速度だけでしょう。
2019/5/3(金) 午後 7:59 [ bak*33*1 ]
ドブロイ波を伝える媒質の話なのか・・
それとも粒子自身の話なのか・・
仰る意味が？です。
XY平面内を動く点や動くグラフ(関数、特に波動関数)の議論は、物理には無関係な運動学という数学
です。
ただ波束の群速度や位相速度の概念それ自体は
純数学的概念で媒質とか運動量とかの物理的概念とは独立なものです。 → 数学的波動からの不確定性関係 ��X・��ｋ≧１ が確かあったはずです。
2019/5/4(土) 午前 9:48 [ cqf*234* ]
自由場の場合の電子の波動関数は、平面波で表せるでしょう。
しかし、平面波は，空間的に一様に無限に広がっています。しかし我々が取り扱う素粒子は，空間的に非常に狭い領域に局在化しています。従ってこのような素粒子の波動関数は，運動量が少しずつ異なる平面波の重ね合わせであると考えて波束を作ります。
通常、量子力学の教科書ではガウス型で説明していますが、高エネルギーの世界では、シンク関数(sinx／ｘ)の形で表現します。これは非常に狭い領域に局在化していますので、都合が良いです。
この波束の移動速度が群速度でしょう。
しかし、あくまで重ね合わせなので、あらゆる時空点に波動関数は存在し、局在化した場所以外は重ね合わせでほぼゼロになっています。
しかし、個々の波動関数がありますので、その波動関数は全時空点で振動していますので、その振幅の変化の速さが位相速度と言うことになるでしょう。
一般の波動方程式はｖ^-2∂^2ψ／∂ｔ^2＝∂^2ψ／∂ｘ^2で表せますが、このｖは位相速度ですので、一般に波動方程式の解は重ね合わせで表さなければならないことも理解できます。
2019/5/4(土) 午前 11:07 [ bak*33*1 ]
なお、波動方程式に分散の概念を取り入れると、Klein–Gordon方程式が得られ、これを近似するとSchrödinger方程式になります。
つまり量子力学の物質は全て波で、基本的に粒の概念は手で入れることになります。粒の概念は場の量子論で初めて現れてきます。従って量子力学は古典物理で場の量子論が本来の量子物理です。
参考文献
http://www.phys.u-ryukyu.ac.jp/~maeno/field.pdf(P37当たり)
https://www.morikita.co.jp/exclusive/download/1590(P4あたり)
https://amonphys.web.fc2.com/amonnr.pdf
世間に量子力学の哲学なるものがありますが、あれはあくまでも古典物理の哲学です。あれで観測の問題など議論しても意味のある者ではありません。
2019/5/4(土) 午前 11:08 [ bak*33*1 ]
＞波動関数)の議論は、物理には無関係な運動学という数学
QEDで定義される光子の波動関数は電磁ポテンシャルＡを＜ｆ｜Ａ｜０＞で定義されます。電磁ポテンシャルは物理量です。
一般に波動関数は実在でないという議論がありますが、本来の量子物理である場の量子論を考えれば、誤りであることが分かります。
2019/5/4(土) 午前 11:25 [ bak*33*1 ]
難しいですね。
ところで１次元調和振動子で、デイラック方程式とクラインゴルドン方程式と場の量子論では、エネルギー固有値は具体的にどうなりますか？ 見かけないのですが。
2019/5/4(土) 午後 10:59 [ cqf*234* ]
デイラック方程式とクラインゴルドン方程式では解析的に解けないでしょう。
以下を参照してください。
https://toyo.repo.nii.ac.jp/?action=pages_view_main&active_action=repository_view_main_item_detail&item_id=8161&item_no=1&page_id=13&block_id=17
場の量子論では連成振動を元に作ります。また、それに調和振動子ポテンシャル(μφ^2)を加えることは意味が無いでしょう(既に作用にω^2φ^2が入っているため)。
しかし、前期量子論なら解けるはずです。
相対論的フックの法則はＦ＝−γ^2ｋＬ
で表せるからです。ただし、γ：Lorentz因子、ｋ：ばね定数、Lバネの伸び です。
https://blogs.yahoo.co.jp/sennkakunakamura/14337056.html
これをゾンマーフェルド模型に当てはめれば良いのです。。
2019/5/5(日) 午前 0:49 [ bak*33*1 ]
かなり前に、１次元調和振動子のデラックＥｑを解こうとしたが、どうしても出来なかった。
ゾンマーフェルド模型でもよいから、計算してくれませんか？
2019/5/5(日) 午前 1:20 [ cqf*234* ]
ゾンマーフェルド模型の調和振動子は
��pdq=nℏω
なので、相対論的には
��p'dq'=nℏω'
よってω’＝ω／γ → E=nℏω/γ
で良いと思います。
2019/5/5(日) 午前 8:54 [ bak*33*1 ]
ちなみに
水素原子模型を特殊相対論的に解いても、非相対論の結果と一致します。
まあDirac方程式の微細構造は非相対論のゾンマと一致しますので、一致しなければ困ります。
2019/5/5(日) 午前 10:05 [ bak*33*1 ]
補足
Schrödinger方程式で水素様原子を計算すると、Bohr模型と一致します。
ところが、Schrödinger方程式をWKB近似すればゾンマが出てきますので、近似の方がより正確な結果が得られます。
また、基底状態ではSchrödinger方程式の解は対応原理に適応できません。
さらに言えば、水素分子やヘリウムは量力ではあまり良い値が得られませんが、Bohr模型では実験値とほぼ一致します。
量子物理は前期量子論から見直すべきと言うのが私の主張です。
2019/5/5(日) 午前 10:11 [ bak*33*1 ]
＞よってω’＝ω／γ → E=nℏω/γ
で良いと思います
変ですね。
sho・eq からは正確にEn＝(1/2+n)ℏωで1/2は
ゼロ点振動でしょう。ω＝√(m/k)で定数です。
γ＝１/√(１−v^2/c^2)ですから、古典粒子
速度vに依存した連続変数でしょう。
エネルギースペクトルに連続性が出てきます。
2019/5/5(日) 午後 0:38 [ cqf*234* ]
＞水素原子模型を特殊相対論的に解いても、非相対論の結果と一致します。
いえ一致しません。一致したら可笑しいでしょう。
岩波の物理学講座の本にはディラック方程式でH原子のEnjを正確に導出されてました。量子数がｎだけでなくてｊもついてました。 これは実験値と
よく一致しました。 しかしほんの僅かに一致しなかったので朝永のQEDの登場でしょう。 小生はこれから「なら１次元調和振動子のdirac解はできそうだな」と思いましたが・・挫折
2019/5/5(日) 午後 0:53 [ cqf*234* ]
＞ゼロ点振動
ゾンマーフェルド模型ではゼロ点振動は出てきません。
ゼロ点振動を入れるには工夫が必要になります。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9C%E3%83%BC%E3%82%A2%EF%BC%9D%E3%82%BE%E3%83%B3%E3%83%9E%E3%83%BC%E3%83%95%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%88%E3%81%AE%E9%87%8F%E5%AD%90%E5%8C%96%E6%9D%A1%E4%BB%B6
＞速度vに依存した連続変数でしょう。
量子化条件で離散量になります。
ゾンマーフェルド模型のエネルギー準位の量子数はｎ_φ, ｎ_rでそれぞれが量子力学のℓとｎに対応します。つまりℓの縮退が解けています。それにspinを導入すれば、Dirac方程式のエネルギー準位と一致します。それは、非相対論、相対論共です。
ただし、量子数の概念が異なるので、Dirac方程式の方ではあり得ないエネルギーも出てきますが、ゾンマーフェルドの方は出てきません。
2019/5/5(日) 午後 2:34 [ bak*33*1 ]
パウリはゼーマン効果や異常ゼーマン効果を考えていました。
ただし、水素原子での電子の遷移時間はゾンマフェルドでは求められません。量子力学も不可能です。QEDで初めて得られます
。
https://amonphys.web.fc2.com/amonnr.pdf
2019/5/5(日) 午後 2:38 [ bak*33*1 ]
ゾンマフェルド水素＝Dirac水素については
https://kindai.repo.nii.ac.jp/?action=pages_view_main&active_action=repository_view_main_item_detail&item_id=18618&item_no=1&page_id=13&block_id=21
が参考になります。
まあ歴史的にはゾンマ水素と一致するようDirac水素が作られたのですが…
2019/5/6(月) 午前 7:34 [ bak*33*1 ]