クライン・ゴルドンEqからSch Eq の導出

クライン・ゴルドンEqからSch Eq の導出

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１次元で考える。　

ｃ＝１　，　ｈ'＝ｈ/2π＝１　の単位系を採用する。

　

質量ｍのボソンがポテンシャルV＝V(ｘ)の中に束縛されている場合のハミルトニアンHは

　　　　　H＝√(ｐ^2＋ｍ^2)＋V　　---  (1)

である。　

V＝V(ｘ)＝０なら自由粒子

　

・低エネルギー近似　

　　H＝ ｍ・√{１＋(ｐ/ｍ)^2} ＋ V　

　　　　　　　　　　ｐは小さいので　

　　　≒ ｍ・{１＋1/2・(ｐ/ｍ)^2} ＋ V

　　　＝ ｍ ＋ ｐ^2/２ｍ ＋ V　　---  (1)’

　　となる。　

ここで全エネルギーＥは、静止質量エネルギーｍと、運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの和εであるから

　　　　　　　　Ｅ＝ε＋ｍ

　　この場合いのSch・Eqは　

　　　　　　　　　　　Ｈψ(ｘ,ｔ)＝Ｅ・ψ(ｘ,ｔ)

　　　　　　　　　(ｍ ＋ ｐ^2/２ｍ ＋ V)ψ＝(ε＋ｍ)・ψ 

    として、　かの有名な置き換え

　　

　　　　　ｐ → -ｉ∂x　　ε → i∂t　---  (2)　　　　

　　をすると

　　{ー(1/２ｍ)∂x^2＋Ｖ}・ψ ＝ i∂t・ψ　---  (3)　

　　とＳｃｈ・Ｅｑに漸近する。　

・超高エネルギー近似　

　　　(1)で、ｍ＝Ｖ＝０ とすると

　　　　　　　　-ｉ∂x・ψ(ｘ,ｔ)　＝　i∂t・ψ(ｘ,ｔ)

　　　となる。

-続く-