『あもんノート』の相対論的場の量子論

『あもんノート』の「相対論的場の量子論」

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このサイト内にある「相対論的場の量子論」を、自分で打ち込んで学びながら以下に丸ごと掲載する。　難解である。

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第15章相対論的場の量子論

ローレンツ変換に対して不変な場の量子論を相対論的場の量子論といいます。これは原子核の理論や素粒子論の基礎となる理論形式です。この章では簡単なスカラー場を例に、まず自由場の量子論を紹介し、次に相互作用のある系を紹介します。その後、伝播関、ウィックの定理、ファインマン規則など一般的な定理に進み、摂動論の高次補正について説明します。最後に対称性が自発的に破れるメカニズムを簡単な例において説明します。

15.1 場の古典論
一般に時空x¹ = (t; r) 上に複数の場'i(x) (i = 1; 2; ¢ ¢ ¢ ) があるとします。作用
汎関数が、
S['] =
Z
dt L =
Z
d4x L
のように与えられるとき、L をラグランジアン、L をラグランジアン密度といい
ます。L が場の1 階微分までで表されるとき、
±L =
@L
@'i
±'i +
@L
@@¹'i
±@¹'i =
µ
@L
@'i
¡ @¹
@L
@@¹'i
¶
±'i + @¹
µ
@L
@@¹'i
±'i
¶
ですから、最小作用の原理±S['] = 0 は、
@L
@'i
¡ @¹
@L
@@¹'i
= 0
を与えます。これをオイラー・ラグランジュ方程式、または単に運動方程式、あ
るいは場の方程式といいます。
作用が、
±'i = ²aGai
という無限小変換に関して不変な場合(²aは無限小パラメータ)、L の変分は時空
の全微分で書けるはずです。これを、
±L = ²a@¹Xa¹
3
とおきます。一方、上の±L の式から場の方程式を用いて±L = @¹
¡
(@L=@@¹'i)±'i
¢
なので、
@¹Ja¹ = 0; Ja¹ =
@L
@@¹'i
Gai
¡ Xa¹
がわかります。これをネーターの定理といい、作用が持つ対称性に対応し、保存
カレントJa¹ が存在することを示しています。
例えば、時空の並進変換x0¹ = x¹¡²¹ に対しては、場とラグランジアン密度が、
それぞれ、
±Ái = ²º@º'i; ±L = ²º@ºL = ²º@¹(±¹
ºL)
と振舞うため、
T¹
º =
@L
@@¹'i
@º'i ¡ ±¹
ºL
が保存カレントになります。これをエネルギー運動量テンソルといいます。