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『あもんノート』の「相対論的場の量子論」
『あもんノート』 → https://amonphys.web.fc2.com/
このサイトは最高レベルの物理サイトである。
このサイト内にある「相対論的場の量子論」を、自分で打ち込んで学びながら以下に丸ごと掲載する。 難解である。
第15章相対論的場の量子論
ローレンツ変換に対して不変な場の量子論を相対論的場の量子論といいます。これは原子核の理論や素粒子論の基礎となる理論形式です。この章では簡単なスカラー場を例に、まず自由場の量子論を紹介し、次に相互作用のある系を紹介します。その後、伝播関、ウィックの定理、ファインマン規則など一般的な定理に進み、摂動論の高次補正について説明します。最後に対称性が自発的に破れるメカニズムを簡単な例において説明します。 15.1 場の古典論
一般に時空x¹ = (t; r) 上に複数の場'i(x) (i = 1; 2; ¢ ¢ ¢ ) があるとします。作用 汎関数が、 S['] = Z dt L = Z d4x L のように与えられるとき、L をラグランジアン、L をラグランジアン密度といい ます。L が場の1 階微分までで表されるとき、 ±L = @L @'i ±'i + @L @@¹'i ±@¹'i = µ @L @'i ¡ @¹ @L @@¹'i ¶ ±'i + @¹ µ @L @@¹'i ±'i ¶ ですから、最小作用の原理±S['] = 0 は、 @L @'i ¡ @¹ @L @@¹'i = 0 を与えます。これをオイラー・ラグランジュ方程式、または単に運動方程式、あ るいは場の方程式といいます。 作用が、 ±'i = ²aGai という無限小変換に関して不変な場合(²aは無限小パラメータ)、L の変分は時空 の全微分で書けるはずです。これを、 ±L = ²a@¹Xa¹ 3 とおきます。一方、上の±L の式から場の方程式を用いて±L = @¹ ¡ (@L=@@¹'i)±'i ¢ なので、 @¹Ja¹ = 0; Ja¹ = @L @@¹'i Gai ¡ Xa¹ がわかります。これをネーターの定理といい、作用が持つ対称性に対応し、保存 カレントJa¹ が存在することを示しています。 例えば、時空の並進変換x0¹ = x¹¡²¹ に対しては、場とラグランジアン密度が、 それぞれ、 ±Ái = ²º@º'i; ±L = ²º@ºL = ²º@¹(±¹ ºL) と振舞うため、 T¹ º = @L @@¹'i @º'i ¡ ±¹ ºL が保存カレントになります。これをエネルギー運動量テンソルといいます。 |
宇宙物理
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整理検討確認
現在観測されているのは過去の姿
太陽は５００sec前、近傍の恒星は数年前、銀河は数億年前、背景放射は１３７億年前
銀河は浮かんでいる。ただし光は静止不可能でｃで走る。
基準系の宇宙 X-ｔ 系 真空 ミンコフスキー空間
２点間距離L＝X2ーX1 ｖ≡dX/dt
質点走行距離X＝∫ｖ dt
現実 の宇宙 X'-ｔ' 系 密度ρ'＝一定 実在空
間 ２点間距離L'＝X'2ーX'1
ｖ'≡dX'/dt' 質点走行距離X＝∫ｖdt
両時空の変換 X'＝ｆ(X,ｔ) t'＝ｇ(X,ｔ)
重力ポテンシャルによる時間の膨張と縮小
条件
１）ハッブルの法則(ｖ＝H・X)が導かれること
２）膨張宇宙でも背景放射はプランク分布は維持されること
【疑問】
ハッブルの法則ｖ＝H・ｒのｖは、実際は銀河光からのドップラー効果の公式を使用しなければ測定不可能ではないか？ (ただプランク分布でなくてプランク様分布になるはずだが・・)
赤方偏移はドップラーの赤方偏移とは異なるのか？
空間が曲がる → 空間が縮む 、の方がbeterか。
-続く-
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膨 張 宇 宙 モ デ ル (２)
宇宙空間自身が、一定速度に限らず、膨張する宇宙を考える。この（２）では時間の膨張は考えてない ！
そのための準備段階として、次の演習問題を設定して、解こう。
【Eｘ】 X軸がある。軸上に原点(地球)が固定されてそ
の上に直線状の十分長いゴム糸が乘っている。
ゴム糸にはX軸と同じスケールが書かれている。
いまX軸上の点Xで,振動数νの光るアリが速度
ｃで原点に向かって歩き始めた。同時にゴム糸
の端を引っ張ったら、点Xが右向きにX軸に対し
て速度V＝V(X,ｔ)だった。
１）アリが原点に達するまでの時間ｔはいくらか？
このときハッブルの法則は成立しているか？
２）原点に到達する直前、最初から原点にいたも
う一匹のアリが観測する光の振動数ν'を求
めよ。(空間膨張による赤方偏移)
３）もしもゴム糸が最初の温度Tの黒体だったと
したら、原点にいたアリが観測するゴム糸の
温度はいくらか？ また放射エネルギースペ
ク分布を求めよ？
解） １）時刻ｔのゴム糸のX軸から見た長さＸ'は
t
L ＝∫Vｄｔ --- (1)
0
Ｘ' ＝ Ｘ＋L --- (2)
である。
到着した瞬間の始点Xのゴム糸上の対応点
のX軸上での長さX'は
時刻ｔでの伸び率＝(Ｘ＋Vｔ)/Ｘ として
X'＝X・(Ｘ＋Vｔ)/Ｘ --- (1)
である。
故に X・(Ｘ＋Vｔ)/Ｘ ＝ ｃｔ
∴ ｔ ＝ X/(ｃ−V) --- (2)
またこれは
(ｃ−V) ＝ １/ｔ ・X
と同じである。 ところがハッブルの法則は
ｃ ＝ １/ｔ ・X
なので、成立していない！
２）X軸とゴム糸上を走る光の波長をλ，λ'とすると
(1)にならって
λ'＝λ・(Ｘ＋Vｔ)/Ｘ
となる。 これに(2)を代入すると
λ'＝λ・ｃ/(ｃ−V)
νλ＝ｃ なので
ν'＝ν・(ｃ−V)/ｃ --- (3)
となる。
何とこれは非相対論ドップラー効果と同じだ ！
３）ν'＝ａν がａの定義だから、今回の場合は(3)より
ａ ＝ (ｃ−V)/ｃ --- (4)
ａ≦１
となる。
観測される温度Ｔ’は
Ｔ’＝Ｔ/ａ＝Ｔ/{(ｃ−V)/ｃ} --- (5)
となる。 放射エネルギー分布は
Ｉ'(ν',Ｔ')＝Ｉ'(ａν,Ｔ/{(ｃ−V)/ｃ)
＝ａ^3・Ｉ(ν,Ｔ/{(ｃ−V)/ｃ}) --- (6)
とプランク分布ではなくてプランク様分布となる。
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等速膨張宇宙モデル(１)
宇宙空間自身が一定速度で膨張する宇宙を考える。
ただしこの（１）では時間の膨張は考えてない ！
そのための準備段階として、次の演習問題を設定して、解こう。
【Eｘ】 X軸がある。軸上に原点(地球)が固定されてそ
の上に直線状の十分長いゴム糸が乘っている。
ゴム糸にはX軸と同じスケールが書かれている。
いまX軸上の点Xで,振動数νの光るアリが速度
ｃで原点に向かって歩き始めた。同時にゴム糸
の端を引っ張ったら、点Xが右向きにX軸に対し
て一定速度Vだった。
１）アリが原点に達するまでの時間ｔはいくらか？
このときハッブルの法則は成立しているか？
２）原点に到達する直前、最初から原点にいたも
う一匹のアリが観測する光の振動数ν'を求
めよ。(空間膨張による赤方偏移)
３）もしもゴム糸が最初の温度Tの黒体だったと
したら、原点にいたアリが観測するゴム糸の
温度はいくらか？ また放射エネルギースペ
ク分布を求めよ？
解） １）時刻ｔのゴム糸のX軸から見た長さＸ'は、Ｘ'＝Ｘ＋
Vｔである。
到着した瞬間の始点Xのゴム糸上の対応点
のX軸上での長さX'は
時刻ｔでの伸び率＝(Ｘ＋Vｔ)/Ｘ として
X'＝X・(Ｘ＋Vｔ)/Ｘ --- (1)
である。
故に X・(Ｘ＋Vｔ)/Ｘ ＝ ｃｔ
∴ ｔ ＝ X/(ｃ−V) --- (2)
またこれは
(ｃ−V) ＝ １/ｔ ・X
と同じである。 ところがハッブルの法則は
ｃ ＝ １/ｔ ・X
なので、成立していない！
２）X軸とゴム糸上を走る光の波長をλ，λ'とすると
(1)にならって
λ'＝λ・(Ｘ＋Vｔ)/Ｘ
となる。 これに(2)を代入すると
λ'＝λ・ｃ/(ｃ−V)
νλ＝ｃ なので
ν'＝ν・(ｃ−V)/ｃ --- (3)
となる。
何とこれは非相対論ドップラー効果と同じだ ！
３）ν'＝ａν がａの定義だから、今回の場合は(3)より
ａ ＝ (ｃ−V)/ｃ --- (4)
ａ≦１
となる。
観測される温度Ｔ’は
Ｔ’＝Ｔ/ａ＝Ｔ/{(ｃ−V)/ｃ} --- (5)
となる。 放射エネルギー分布は
Ｉ'(ν',Ｔ')＝Ｉ'(ａν,Ｔ/{(ｃ−V)/ｃ)
＝ａ^3・Ｉ(ν,Ｔ/{(ｃ−V)/ｃ}) --- (6)
とプランク分布ではなくてプランク様分布となる。
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膨張宇宙はドップラー効果で説明可能か？
現在の膨張宇宙は一般相対論のアインシュタイン方程式に宇宙原理を適用して説明されている。 その膨らむゴム風船のゴムが膨張するように、結果空間そのものが膨張すると解釈されている。ハッブルの法則や２.７３K背景放射の解釈もそれに基づく。
しかし素朴な疑問として
「なぜ空間だけが膨張してそれが観測され、時間
(宇宙時)の膨張は観測されないのだろうか？
相対論は空間と時間は同等に扱われるはずだ。
ハッブルの法則や背景放射もドップラー効果で解
釈できないだろうか？」
が消えない。
ところで最近の観測から、観測可能な宇宙空間はかなりの精度で平坦、つまりユークリッド空間的なことが分ってきた。(ただし観測不可能なさらにずっと遠方までの広大な宇宙全体として平坦か否かは不明)
- - -
以下では宇宙は平坦な時空ミンコフスキー宇宙(ユークリッド時空間で特殊相対論だけを仮定する。
まず光の相対論的ドップラー効果の公式は
ν'＝ν・√{(１＋β)/(１-β)} --- (1)
≡ａ(ｖ)ν＝ａν --- (1)'
ν：光源の固有振動数
ν'：観測者の感ずる振動数
ｖ：光源と観測者間の相対速度
ｃ：光速度
β≡ｖ/ｃ
である。
一方温度Tの黒体面からは全ての振動数の電磁波が放射されている。
単位面積面積(m2)・単位時間(sec)に、振動数νとν＋ｄνの電磁波が、黒体面の外部へ放射される際のエネルギー放射強度はプランク分布で
I(ν,T) ＝ 2h/c^2 ・ν^3/{exp(hν/kT)-1} --- (2)
と知られている。 Iの物理次元は J/m2・sec
- - - -
ＸＹＺ座標で、ＹＺ平面が温度Ｔの黒体面とする。
このとき黒体面から発せられる全ての振動数νは
ドップラー効果を受ける。 その結果放射エネルギ
ースペクトル強度も連動してＩからＩ'に変化(この場合
は増加)するだろう。
Ｉ'＝Ｉ(ａν,Ｔ)
＝2h/c^2 ・(ａν)^3/{exp(hａν/kT)-1}
このexp{ }は変形できて
＝2h/c^2 ・(ａν)^3/{exp(hν/k(T/ａ))-1} --- (3)
となる。 これは温度がT/ａ黒体放射(プランク分布)となることを示している。
関係式
ν’＝ａν ， Ｔ’＝Ｔ/ａ --- (4)
を(3)式を代入すると
Ｉ'(ν',Ｔ')＝ 2h/c^2 ・ν'^3/{exp(hν'/kT')-1} --- (2)’
＝ ａ^3・2h/c^2 ・ν^3/{exp(hν'/kT')-1} --- (2)”
と黒体放射を示す。
【結論】
温度Ｔの黒体面に対して相対速度ｖで近づく
と、温度Ｔ'≡Ｔ/ａの黒体放射と観測される。
放射エネルギー強度Ｉ'はａ^3倍になる。
ただし ａ≡√{(１＋β)/(１-β)} β＝ｖ/ｃ
※ ｖ＝０ のときは β＝０ ，ａ＝１ ，Ｉ'＝Ｉ
ｖ＝ｃ/2 のときは β＝0.5，ａ＝√(3)，Ｉ'＝3√(3)・Ｉ
ｖ＝ｃ のときは β＝1 ，ａ＝∞ ，Ｉ'＝∞・Ｉ
ところでビッグバン後約３０万年後の星形成前のプラズマの温度Ｔは、正統理論(？)によるとＴ≒3500℃＝3773[K]とされている。 これが現在Ｔ’＝2.73[K]と観測されている背景放射の温度である。
Ｔ'＝ａＴ より 3773 ＝ ａ・2.73 → ａ＝1382
1382 ＝√{(１＋β)/(１-β)} → β＝0.999999・・
つまり星形成前のプラズマはほとんど光速で遠ざかっている。
ここで背景放射源までの距離ｒは、ハッブルの法則
ｖ＝Ｈｒ から求められるだろう。 ｒ≒１３７億光年
とでるはずだ。
正統派理論では初期プラズマ黒体が宇宙膨張による断熱膨張で2.73[K]まで冷却した、と考えている。
つぶやき ・・・ ハッブルの法則 ｖ＝Ｈｒ はある原理
から演繹できないだろうか？
【次なる課題】
Ｘ軸上に直線状の長いゴム糸を重ねておく。
ゴムの各点から同一の振動数νの光が放射されている。 このゴムの右端を速度Ｖ(ｔ)で引っ張り続ける。
原点にいる観測者がハッブルの法則を満たすようなＶ(ｔ)を決める。 または原点にいる観測者が2.73Ｋのプランク分布を観測するようにＶ(ｔ)を決める。
【ハッブルの法則の疑問】
ｖ＝Hｒの遠方の銀河の後退速度ｖは、空間膨張によるものとされている。ならばドップラー効果を使わずしていかにしてハッブルは測定したのか？ 当時は一般相対論による空間膨張は宇宙空間の平均密度ρが知られていなかったし、ましてやダークエネルギーも知られていなかった。
-続く- |
