偶数の完全数［続］（uchinyanさんの証明）

以下は、算チャレの掲示板に提示された、uchinyanさんの証明です。
uchinyanさんのご了承を得てご披露させて頂きました。Orz〜

偶数の完全数

オイラーさんがどう証明したのかは定かではありませんが、私も以前に考えたことがあります。
間違っているかもしれませんが、次のように、比較的簡単にできました。

a が偶数の完全数とします。
a は偶数なので、n を 1 以上の整数、b を奇数として、a = 2^n * b と書けます。
ここで、正の整数 c の約数の和を s(c) で表すと、2^n と b とは互いに素なので、
s(a) = s(2^n * b) = s(2^n) * s(b) = {2^(n+1) - 1} * s(b)
一方で、a は完全数なので、
s(a) = 2 * a = 2^(n+1) * b
です。そこで、
2^(n+1) * b = {2^(n+1) - 1} * s(b)
明らかに、2^(n+1) と 2^(n+1) - 1 とは互いに素なので、k を 1 以上の整数として、
b = {2^(n+1) - 1} * k
となります。
ここで、k が 1 でないとすると、b は、少なくとも、
1, k, 2^(n+1) - 1, {2^(n+1) - 1} * k
という因数をもちます。そこで、
s(b) >= 1 + k + {2^(n+1) - 1} + {2^(n+1) - 1} * k = 2^(n+1) * (k+1)
そこで、
2^(n+1) * b = {2^(n+1) - 1} * s(b) >= {2^(n+1) - 1} * 2^(n+1) * (k+1)
b >= {2^(n+1) - 1} * (k+1) > {2^(n+1) - 1} * k
ここで、{2^(n+1) - 1} * k = b なので b > b となり、これは矛盾です。
そこで、k = 1 になり、
b = 2^(n+1) - 1
になります。
ここで、b が素数でない場合を考えてみます。
すると、1, 2^(n+1) - 1 以外の因数 d, e, de = b があり、先ほどと同様に、
s(b) >= 1 + d + e + {2^(n+1) - 1} > 2^(n+1) + d
2^(n+1) * b = {2^(n+1) - 1} * s(b) > {2^(n+1) - 1} * {2^(n+1) + d} = 2^(n+1) * {2^(n+1) + d} - {2^(n+1) + d}
b > 2^(n+1) + d - 1 - d/2^(n+1) = {2^(n+1) - 1} + d * {2^(n+1) - 1}/2^(n+1)
ところが、2^(n+1) - 1 = b、d/2^(n+1) > 0 なので、
b > b + d * b/2^(n+1) = b * (1 + d/2^(n+1)) > b
これは矛盾です。そこで、b = 2^(n+1) - 1 は素数になります。
b = 2^(n+1) - 1 が素数のときに a = 2^n * {2^(n+1) - 1} が完全数になることは、明らかですね。

結局、偶数の完全数は、
2^n * {2^(n+1) - 1}　ただし 2^(n+1) - 1 は素数
と決まります。

この証明では、2^n, 2^(n+1), s(2^n) = 2^(n+1) - 1 がうまい具合に現れてくれるのがポイントになっています。
奇数の場合は、残念ながら、こうした偶然はなさそうで、より深い考察が必要になるように思っています。

いつもすらすらと解かれるuchinyanさんって、すごいな〜と尊敬しています。
オイラーさんもこんな感じで解かれたんだろうかしら・・・？(^^)

画像：マラン・メルセンヌ

n が素数のとき、Mn = 2n-1 の形をした自然数をメルセンヌ数という。2進数で表記するとn桁の1111…1の形になる。また、メルセンヌ数が素数であるとき、そのメルセンヌ数をメルセンヌ素数という。特にメルセンヌ素数に限りメルセンヌ数という場合もある。
1644年にマラン・メルセンヌは 2n -1 が素数になるのは、n ≦ 257 では、n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257 だけであると発表した。残念ながらその主張の一部は誤っていた。リストには M61, M89, M107 が含まれておらず、M67, M257 は合成数であった。

（メルセンヌ数　出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』）

[スモークマン]

＞8:01amの鍵コメY様へ ^^
読ませて頂きました☆
簡明ですね♪
別記事として紹介させていただきまっす〜m(_ _)m〜v

[スモークマン]

＞11:18pmの鍵コメT様へ ^^
むかしの記事の書式といまのは変更されてて…
それもあり〜のでしたわけですが… ^^;
畏友の方々のものは別建てにしなきゃいけません☆ Orz〜v