1902：海賊と金貨

問題1902・・・http://puzzler.seesaa.net/article/13412835.html　より Orz〜

５人の海賊が戦利品の金貨１００枚を山分けすることになりました。この海賊たちには親分から下っぱまで身分の違いがあって、山分けにあたって次のようなルールがあります。

まず親分が５人それぞれの取り分を提案します。全員の多数決で少なくとも半数以上の賛成があればその提案のとおりに山分けがされますが、賛成が半数に満たなければ、その提案者（親分）はその場で殺されて同じことのやり直しとなります。（親分が殺された場合は次はＮｏ．２が提案をすることになります）
こうして山分けの案がまとまるまでこのルールは繰り返されます。さて親分であるあなたはどのような山分け案を提案したらよいでしょうか。
もちろん、海賊同士は相談や共謀をすることはできませんし、皆、論理的かつ貪欲で誰も死にたくないと思っています。
















































































解答

http://puzzleanswer.seesaa.net/article/16095746.html　より Orz〜

この問題の元ネタはマーティン･ガードナーではないか、ということを問題編のところで言ってましたが、もう少し詳しい書籍があって、それによると、イリノイ大学のスティーブン・ランズバーグという人が考案した、ということのようです。（その問題では海賊は１０人でした）

これは帰納法で解いていきます。まずは二人の場合にどうなるかを見てみます。二人の場合、親分は自分が１００枚の金貨をとる、と提案するのが論理的です。この提案に下っぱが反対したところで、自分が賛成して多数決で半数をとれるからです。

次に三人の場合だとどうでしょう。二人の場合だと、一番の下っぱは何ももらえないことがわかっています。ということは、一番の下っぱにとっての最優先戦略は、親分の提案が通ることということになります。（親分の提案が通らなかったらその親分は殺され、あとは二人になってしまう＝何ももらえない、からです）

論理的な親分は下っぱがそう考えることを予想します。そこで、この一番の下っぱに最低限の金貨さえ与えれば賛成してくれるだろう、と考えます。一方、この下っぱさえ賛成してくれれば多数決で勝つので、Ｎｏ２には何も与える必要はありません。

ということで、この場合の親分は自分が９９枚、Ｎｏ２には０枚、一番の下っぱに１枚という提案をして、自分と一番下っぱの賛成を得ます。

四人のときも同じように考えます。考えやすいように、一番下っぱから親分までそれぞれｎ１、ｎ２、ｎ３、ｎ４とおきます。（親分はｎ４です）ｎ４は少なくとも自分ともう一人、計２名の賛成を得る必要があります。
ところで、このときのｎ２の戦略はn４の提案が通ることです（先ほどと同じ考え方です）。また、n1、ｎ３にとってはn４の提案が通らない（＝ｎ４を殺して三人にする）方が得です。

ということで、ｎ４はｎ２だけ、最低限の金額で買収します。提案はｎ４が９９枚、ｎ３が０枚、ｎ２が１枚、ｎ１が０枚です。

やっと五人のケースにきました。今度も下っぱからｎ１、ｎ２、ｎ３、ｎ４、ｎ５とおきます。五人なので、ｎ５は今度は二人から賛成を得る必要があります。親分が殺されて４人になったときに何ももらえないのは、上のケースからｎ１とｎ３の二人です。言い換えると、ｎ１とｎ３はｎ５の提案が通ることが最優先戦略となります。
なので、ｎ５である親分は分配案を、こう提案します。

自分が９８枚をとる。Ｎｏ２には０枚、Ｎｏ３には１枚、Ｎｏ４には０枚、Ｎｏ５には１枚を渡す。

これにＮｏ３とＮｏ５が賛成をしてめでたく分配されるのでした。


おもしろい〜♪
冷徹な論理・・・No 2 は叩かれる運命にある ^^;v