2629：最大値(a^3+b^3=2)

問題2629・・・ピアノマンさんのサイト http://blogs.yahoo.co.jp/pianomann01/16578103.html　より Orz〜

正の数a, bがa^3+b^3=2 を満たすとき,

(1) a+b の範囲を求めなさい.
(2) a^2+b^2の最大値を求めなさい.





















































解答

・わたしの

1.
グラフで考える・・・
a=0 のとき、b=(2)^(1/3)
b=0 のとき、a=(2)^(1/3)
a=b のとき、a=b=1
(2)^(1/3)< a+b <=2

2.
ラグランジュの未定乗数法を使ったりして...
a^3+b^3-2=0
a^2+b^2
2a+3a^2λ=0
2b+3b^2λ=0
a=b=-2/3λ
(-2/3λ)^3=1
λ=-2/3
a=b=1
この時極値で、a^2+b^2=2 が最大のはず ^^;?
2. もグラフから、円が接するときは(a,b)=(1,1) のときが半径最大になるから、Max(a^2+b^2)=2 でもいいですかね・・・？

上記サイトより Orz〜

(1)
横軸をa、縦軸をbとしてb=f(a)のグラフを考える
f(a)=(2-a^3)^1/3
f'(a)=-a^2(2-a^3)^-2/3<0
f''(a)=-2a(2-a^3)^-2/3-2a^4(2-a^3)-5/3<0
よりグラフは上に凸で右下がりの曲線なので、
直線b=S-aを考える。S=a+bである
つまりb=(2-a^3)^1/3とb=S-aが接するときSはa+bの最大値である
よって2-a^3=(S-a)の解が重解になればよい
このようなSが2であり、このとき
a^2-2a+1=0となることから
a=1
最大値は２
グラフは上に凸なのでSが最小になるのはグラフでみてa=2^1/3のときである
（b=S-aがa切片、b切片を通る）
このときS=2^1/3
a>0,b>0より2^1/3<a+b<=2

(2)
横軸a^2、縦軸b^2としてb=f(a^2)=(2-a^3)^2/3のグラフを考える
a^2=x,b^2=yとするとy=f(x)=(2-x^3/2)^2/3
a>0,b>0よりx>0,y>0
(1)と同様に微分するとグラフの形は上に凸の右下がり
直線y=T-xとの交点を考えて
(T=a^2+b^2=x^2+y^2)
y=f(x)とy=T-xが接するようなTを考える
（式から求められそうにないので）
グラフの対称性とその形よりx=yのとき接する
このときx=y=1,T=2
最大値は２

やっぱりグラフで考えればいいんだね♪