2774：場合の数（9個の正方形）

問題2774（友人問）

9個の正方形が一列に並んだ図形がある。その9個のうち、n個に赤色を塗る方法がN(n)通りあるとする。ただし、2つの塗り方の一方を180°回転（左右を逆転させる）して他方の塗り方に一致するような2つの塗り方は同じものだと見なす。このとき、N(3)、N(4)を求めよ。
























































解答

・わたしの

N(3) のとき、
真ん中に塗らない場合・・・8C3
真ん中に塗る場合・・・8C2/2
合計＝8*7*6/3*2+4*7/2=56+14=70 通り

N(4) のとき、
真ん中に塗らない場合・・・8C4/2
真ん中に塗る場合・・・8C3
合計＝8*7*6*5/4*3*2*2+8*7*6/3*2=35+56=91 通り

でいいのかな・・・^^?

↑またもや...全然間違ってました...ガクッ...^^; Orz...

・鯨鯢(keigei)さんのもの Orz〜

(全体＋左右対称)/2 で計算
N(3)=(9Ｃ3+4Ｃ1)/2=44 [対称なものは真ん中に塗られている]
N(4)=(9Ｃ4+4Ｃ2)/2=66 [対称なものは真ん中に塗られていない]

思考がシンプル!!・・・クレバーね♪

[友人K]

＞ crazy_tomboさんへ^^
N(3)=44, N(4)=66 になりました。

[スモークマン]

＞友人Kさんへ ^^
再考・・・^^;
N(3)
真ん中に塗らない場合・・・8C3/2=28
真ん中に塗る場合・・・左4ヶ所に1個、右3ヶ所に1個＝4*3/2、左右対称のとき＝4、左4ヶ所に2個＝4C2=6
合計=28+6+4+6=44

N(4)
N(3) に1個追加した場合を考える・・・
真ん中に塗られている場合・・・すでに左右に1個ずつある場合＝12*3C1/2=18（左右対称になる場合の時もこれに含まれている）
すでに左に2個ある場合・・・6*2C1=12
真ん中に塗られていない場合・・・8C4/2=8*7*6*5/4*3*2*2=35
合計＝35+12+18=65・・・^^;?

意外に難い...^^;...

[友人K]

＞ crazy_tomboさんへ^^
(全体＋左右対称)/2 で計算
N(3)=(9Ｃ3+4Ｃ1)/2=44 [対称なものは真ん中に塗られている]
N(4)=(9Ｃ4+4Ｃ2)/2=66 [対称なものは真ん中に塗られていない]

[スモークマン]

別の方法で考えてみた...^^
N(k)=N(9-k)
2(N(0)+N(1)+N(2)+N(3)+N(4))
=(2^9-2(1+1+4+4+6))/2+2(1+1+4+4+6)
=(2^9-2^5)/2+2^5
=272
N(0)+N(1)+N(2)+N(3)+N(4)=136
N(0)=1, N(1)=5, N(2)=10, N(3)=44
N(4)=136-(1+5+18+44)=68

あれ...合わないなあ...^^;?

[友人K]

☆ N(2)=20 です

[スモークマン]

＞友人Kさんへ ^^
そっか...
(全体-左右対称)/2+左右対称=(全体+左右対称)/2
納得♪

[友人K]

＞ crazy_tomboさんへ^^
いつの間にか私の解答もUPされていたんですね。
ところで、この画像、フクラミが答になる詰碁で使ってほしいなぁ。
−−−相変わらず注文の多い友人Kでした。

[スモークマン]

＞相変わらず注文の多い友人Kさんへ ^^
なはっ...♪...
フクラミ絡みの詰め碁問題見つけられたあかつきには...必ずや...^^v

[友人K]

＞ crazy_tomboさんへ^^

┼┼○○○○┼○○○○┼┼
┼┼○●●●┼●●●○┼┼
┷┷┷┷┷┷┷┷┷┷┷┷┷
だったら、臍の部分のアップですね。
−−−何度も crazy_tomboさんを呆れさせる友人Kでした。

[スモークマン]

＞友人Kさんへ ^^
素晴らしい!!
華麗なる作品♪
凹み(＝見方変えれば「フクラミ」)でりっぱな活きですね ^^v 恐れ入りました〜m(_ _)m〜

[友人K]

＞ crazy_tomboさんへ^^
この図は不思議と覚えてました。使っているのが９路でこの問題と合うし、
左右対称は中央だし、
中央でヘコんでいるのは臍だから
呆れさせるのを承知で書けば crazy_tomboさんの意外な反応でした。

[スモークマン]

＞友人Kさんへ ^^
わたしも真似て作ってみたけど...貴殿のような奇麗な作品はできない...^^;?

＋＋○○○○＋○○○○＋＋
＋＋○●●●＋●●●○＋＋
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夏休みの工作の宿題してる気分...♪

[友人K]

＞ crazy_tomboさんへ^^
─│┌┐┘└├┬┤┴┼━┃┏┓┛┗┣┳┫┻╋┠┯┨┷┿┝┰┥┸╂
をコピーして使って下さい。

[スモークマン]

＞友人Kさんへ ^^
便利な素材!! ありがとうございます〜m(_ _)m〜♪
雨ばっかりで...少々腰痛が↑してるわたしです...^^;

[スモークマン]

＞友人Kさんへ ^^
なかなか使い切れない...^^;
子どもに...1辺が1の正方形を等分に分割していき...その対角線の折れ線の和は２になるのに...無限に分割したとき...その折れ線は対角線に近づくはずだのに...2≠√2 なのはなぜ？って聞かれた...しばし考えたんだけど...無限に分割しても...それは直線にはならないんだ...無限に拡大してみれば...やっぱり折れ線になってるから...なんて答えたけど...
巧い解答ってありますかしら...^^;?
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上の素材使えないわたし...Orz...
正方形を分割して...対角線に沿った折れ線を太線で表わしたかったんだけど...^^;...

[友人K]

＞ crazy_tomboさんへ^^
折れ線が線分に近づくことと長さが近づくこととは別次元の話です。

[スモークマン]

＞友人Kさんへ ^^
サンクス Orz〜
でも...いまだ...今一ピンと来ないわたし...^^;