3739：三角比の計算...

問題3739・・・ヤドカリさんのブログ http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/17547441.html#17576810　より Orz〜

cos12ﾟ･cos24ﾟ･cos36ﾟ･cos48ﾟ･cos72ﾟ･cos84ﾟ＝？

















































解答

上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/18074935.html　より Orz〜

[解答1] ふじもさんの解答より (説明を追加しています)

　１辺の長さが１の正五角形の対角線の長さは、2cos36ﾟ＝(√5＋1)/2
　cos36ﾟ＝(√5＋1)/4
　cos72ﾟ＝2cos236ﾟ−1＝(√5＋1)2/8−1＝(√5−1)/4
　cos48ﾟ･cos12ﾟ＝(1/2)(cos60ﾟ＋cos36ﾟ)＝(3＋√5)/8
　cos84ﾟ･cos24ﾟ＝(1/2)(cos60ﾟ−cos72ﾟ)＝(3−√5)/8
　この4個の式を掛けると、
　(√5＋1)(√5−1)(3＋√5)(3−√5)/(4･4･8･8)＝1/64 となります。


[解答2] uch*n*anさんの解答より

上記サイト参照願います...^^;...Orz~

[解答3] uch*n*anさんの解答より

　V＝cos12ﾟ･cos24ﾟ･cos36ﾟ･cos48ﾟ･cos72ﾟ･cos84ﾟ とおくと、
　V･sin12ﾟ･sin36ﾟ＝(sin12ﾟ･cos12ﾟ･cos24ﾟ･cos48ﾟ･cos84ﾟ)(sin36ﾟ･cos36ﾟ･cos72ﾟ)
　 　 ＝(1/4)(sin24ﾟ･cos24ﾟ･cos48ﾟ･cos84ﾟ)(sin72ﾟ･cos72ﾟ)
　 　 ＝(1/16)(sin48ﾟ･cos48ﾟ･cos84ﾟ)･sin144ﾟ
　 　 ＝(1/32)(sin96ﾟ･cos84ﾟ)･sin36ﾟ＝(1/32)(sin84ﾟ･cos84ﾟ)･sin36ﾟ
　 　 ＝(1/64)･sin168ﾟ･sin36ﾟ＝(1/64)･sin12ﾟ･sin36ﾟ
　よって、V＝1/64 となります。


[解答4]

　V＝cos12ﾟ･cos24ﾟ･cos36ﾟ･cos48ﾟ･cos72ﾟ･cos84ﾟ とおくと、
　V＝2･(−cos120ﾟ)･(−cos168ﾟ)･cos24ﾟ･(−cos144ﾟ)･cos48ﾟ･cos72ﾟ･(−cos96ﾟ)
　 ＝2･cos24ﾟ･cos48ﾟ･cos72ﾟ･cos96ﾟ･cos120ﾟ･cos144ﾟ･cos168ﾟ
　θ＝24ﾟ，48ﾟ，96ﾟ，120ﾟ，168ﾟ のとき、cos5θ＝−1/2 を満たします。
　 16cos5θ−20cos3θ＋5cosθ＝−1/2
　 cos24ﾟ，cos48ﾟ，cos96ﾟ，cos120ﾟ，cos168ﾟ は 32x⁵−40x³＋10x＋1＝0 の解で、
　 すべて異なるから、その積は、解と係数の関係により、−1/32 、
　θ＝72ﾟ，144ﾟ のとき、cos5θ＝1 を満たします。
　 16cos5θ−20cos3θ＋5cosθ＝1
　 cos72ﾟ，cos144ﾟ は 16x⁵−20x³＋5x−1＝0 の解、
　 (x−1)(4x²＋2x−1)2＝0 の解、4x²＋2x−1＝0 の解で、
　 その積は、解と係数の関係により、−1/4 、
　従って、V＝2(−1/32)(−1/4)＝1/64 となります。


[解答5]

　sin2θ＝2sinθcosθ より、2cosθ＝(sin2θ)/(sinθ) となります。
　 2cos12ﾟ＝(sin24ﾟ)/(sin12ﾟ)
　 2cos24ﾟ＝(sin48ﾟ)/(sin24ﾟ)
　 2cos36ﾟ＝(sin72ﾟ)/(sin36ﾟ)
　 2cos48ﾟ＝(sin96ﾟ)/(sin48ﾟ)＝(sin84ﾟ)/(sin48ﾟ)
　 2cos72ﾟ＝(sin144ﾟ)/(sin72ﾟ)＝(sin36ﾟ)/(sin72ﾟ)
　 2cos84ﾟ＝(sin168ﾟ)/(sin84ﾟ)＝(sin12ﾟ)/(sin84ﾟ)
　この６個の式を掛けて、64･cos12ﾟ･cos24ﾟ･cos36ﾟ･cos48ﾟ･cos72ﾟ･cos84ﾟ＝1
　cos12ﾟ･cos24ﾟ･cos36ﾟ･cos48ﾟ･cos72ﾟ･cos84ﾟ＝1/64 になります。

*いろいろな方法があるものね〜^^;v
解答4が面白いな♪
わたしは...解答5に遅ればせながらやっと気付けたけど...やや愚すく...^^;

sin12*cos12ﾟ･cos24ﾟ･cos36ﾟ･cos48ﾟ･cos72ﾟ･cos84ﾟ
=(1/2)sin24*cos24*cos36*cos48*cos72*cos84
=(1/4)sin48*cos48*cos36*cos84*cos72
=(1/8)sin96*cos84*cos36*cos72
=(1/8)cos6*sin6*cos36*cos72
=(1/16)sin12*cos36*cos72
両辺に sin36を掛けると...右辺は...
(1/16)*sin36*cos36*cos72
=(1/32)sin72*cos72
=(1/64)sin144
=(1/64)*sin36
よって...
与式は...1/64

[スモークマン]

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