接吻数...

以前も出てると思うけど...^^;v
たしか...ケプラーとニュートンの間で...13個か12個かで論争されてたんですよね...?

　　　　　　　　　　　　　http://ja.wikipedia.org/wiki/接吻数　より

　　　　　　　　　　　　　　「1,2,3次元における図式は以下の通り」

「（n 次元）接吻数問題（せっぷんすうもんだい、kissing number problem）とは「n 次元の単位球の周りに単位球を重ならず触れ合うように並べるとき、最大何個並べることができるか」という問題である。その個数のことを接吻数という。0次元、1次元、2次元、3次元、4次元、8次元、24次元の接吻数が分かっており、それぞれ 0、2、6、12、24、240、196560 である。
3次元接吻数問題は、1694年のアイザック・ニュートンとデイヴィッド・グレゴリー (en) の議論に端を発するが、完全に解決されたのは1953年のクルト・シュッテとファン・デル・ヴェルデン (en) の論文による。」

あれ...?...ケプラーとじゃなかったっけ...?
球充填問題とは別問題なのかなぁ...^^;?...

http://ja.wikipedia.org/wiki/ケプラー予想　より
「球充填（きゅうじゅうてん、英:Sphere packing）とは、互いに重なり合わない同一の球面を並べて空間を充填すること、およびそのような問題を指す。一般に3次元ユークリッド空間を扱う。しかし、2次元空間（その場合の球は円）や高次元空間（その場合の球は超球）、さらには双曲空間のような非ユークリッド空間にも適用できる。
典型的な球充填問題とは、ある空間について最も稠密に球を詰め込む配置を見出す問題である。空間全体に対して球面で囲まれた空間の比率を（球）充填密度（density of arrangement）と呼ぶ。充填密度は測定する量によって変わるため、通常は平均を最大化するか、十分大きな量を測定したときの漸近的な密度を最大化することを問題とする。
球面の中心が格子と呼ばれる極めて対称的なパターンとなる配置を、正規（regular）配置（または周期（periodic）配置、あるいは格子（lattice）配置）と呼ぶ。格子状に配置されていない場合は、非正規（irregular）配置または非周期（aperiodic）配置と呼ぶ。正規配置は非正規配置よりも扱いやすく、対称性の度合いによって容易に分類され、密度が測定される。

円充填
2次元ユークリッド空間（平面）については、カール・フリードリヒ・ガウスが最も密度の高い円の正規配置は六方充填配置であることを証明した。これは、円の中心が六方格子（ハニカム構造のようなもの）になっており、それぞれの円は6個の円で囲まれている。その充填密度は次の通りである。

1940年、マジャル人数学者 László Fejes Tóth は、六方格子が正規も非正規も含めたあらゆる円充填の中で最も高密度であることを証明した。
これを一般化した概念を「円充填（circle packing）」と呼び、様々な大きさの円を組み合わせて平面を充填することを指す。これは、等角写像、リーマン面といった概念の離散化した類似物を生み出す。

　　　　　　　　　様々な大きさの円を敷き詰める最も効率的な方法は明らかではない。

球充填
3次元ユークリッド空間では、まず平面上で球を稠密に配置する。3つの球が互いに接するよう配置すると、その真ん中にできた凹みに第4の球を置くことができる。これを一段目の上のあらゆる箇所で行えば、新たな稠密な配置が生成される。第3層は、上から見て第1層と同じ配置になる場合と、第1層の凹みのうち第2層が使っていない位置に球を配置する場合がある。後者の場合、層によって3種類の配置がある（これを A, B, C とする）。
ガウスは、これらの配置が正規配置の中で最も高密度であることを証明した。
この2つの配置は、ABCABC… の方を立体最密充填（または面心立方）、ABAB… の方を六方最密充填と呼ぶ。しかし、これら以外の任意の層の組合せが可能である（ABAC、ABCBA、ABCBAC、など）。いずれの配置も1つの球は12個の球に囲まれていて、2つの配置の平均密度は以下のようになる。

1611年、ヨハネス・ケプラーは、これが正規配置と非正規配置全てについて最高密度の配置であると予想した。この命題はケプラー予想と呼ばれる。1998年、Thomas Callister Hales は1953年に László Fejes Tóth が示唆した手法を使って、ケプラー予想を証明したと発表した。Hales の証明は、コンピュータを使ってあらゆる個々のケースを調べつくすという方法であった。審査員は Hales の証明の正しさを99%としており、ケプラー予想は「ほぼ」証明された状態と言える。

　　　　　　　　　　　　ピラミッド状に積み上げた球は立体最密充填の一例

　　　　　　　　　　　　　　　　　　2種類の3段の積み上げ方　　　　　　　　

非正規充填
球を稠密に配置しようとすると、3個の球を互いに接するように配置して、4つ目をその凹みに配置することになる。5個目の球も同様に配置すると、上述した正規配置のいずれかになる。しかし、6個目の球を同様に配置したとき、正規配置でない配置になる（Chaikin, 2007）。これを球の無作為最密充填と呼び、圧縮しても安定している。
球を1つずつ無作為に追加していって圧縮したとき、一般にそれ以上圧縮できない「非正規」充填となる。非正規充填の密度は球自身の密度の約64%となる。これは1次元や2次元では発生しない。1次元や2次元での圧縮は正規充填を生じる。・・・」

*よくわからず...^^; Orz~
人間の場合は...接吻数は唇が１カ所だけに...１カ所なのよね...^^;...v