シルベスターの定理...

知らなかったけど...たまたまとあるサイトに出てきてたもので調べてみました...^^

どうしてこんな不思議な(線を点に分断したような^^;?)ことを思いつくんだろねぇ～～～^^;v

http://www.maroon.dti.ne.jp/coolee/mondai3.html より Orz～

「平面上にｎ点があってこれらのうちのちょうど２点のみを通る直線が存在しなければそのｎ点は同一直線上にあることを証明せよ。（シルベスターの問題）

＜Sol＞ｎが０と１のときは自明に成り立つのでｎ≧２としてよい。対偶を示す。

ｎ点を A1、A2、・・・、An とし、これらのうちの２点で決まる直線を
L1、L2、・・・、Lm とする。 m ≦ _nC₂ なのでｍは有限である。

AiとLjの距離を d_ij で表す。あるd_ijは０でないことになる。
０でないd_ijのうち最小のを d_ab とする。

Lb が３点 Ai、Aj、Ak を通るとする。

Aa から Lbに垂線を下ろしたとき、 Aj、Ak はそれに対して同じ側にあるとして一般性を失わない。

Aj と直線 AaAk の距離＜ d_ab なので矛盾。　　//　」

これは...下の表現と同値なんですね ^^

http://komurokunio.web.infoseek.co.jp/inequality.html より Orz～

「（シルベスターの定理）

一直線上にはないｎ個の点がある．このとき，ちょうど2点だけを通る直線が存在する．

この定理を証明するのに，直線と直線上にない点との距離のなかの最小なものに注目し，その直線が条件を満たすものになっています．
なお，この問題は，シルベスターが提出し，５０年ほど解かれなかったが，無名の数学教師が証明した，というエピソードが中国ではよく話されていました，中国では多分常識になっている内容でしょう．」

なんだかζ(3)の無理数を証明したアペリーの話を思い出しますね...^^

http://ja.wikipedia.org/wiki/ロジェ・アペリーより

「ロジェ・アペリー(Roger Apéry, 1916年 11月14日 - 1994年 12月18日)は、ζ(3) （ζ: ゼータ関数）が無理数になるというアペリーの定理で有名なフランス人の数学者である。

彼は1916年にルーアンで生まれ、1994年に病死した。生前はカン大学に勤めていた。

1977年、彼は立方数の逆数和が無理数になるという証明で、思いがけず数学界に衝撃を与えた。それまで彼は、自分の名を広める定理が何一つとして無かったので、その輝かしい経歴にもかかわらず、自身を「フランスで最低な数学者」とうたっていた。」

http://ja.wikipedia.org/wiki/アペリーの定理より

「アペリーの定理（Apéry's theorem）とは、リーマンゼータ関数 ζ の特殊値 ζ(3) が無理数である、という定理である。

1978年にフランスの数学者ロジェ・アペリーが、周囲が全く予期しないうちに、この事実の証明を発表した。アペリーの証明は、一箇所手計算では出来ないところが含まれているといわれており、またその方法が未だに他の ζ の奇数値に対して一般化できないこともあり、非常に謎めいたものとなっている。後にボイカーズのルジャンドル多項式を使った証明やネステレンコの証明などが発表されている。

アペリーはフランス人数学者で、当時隆盛を誇っていたブルバキとは疎遠に、独自でこの方法を開拓した。・・・」

シルベスターって...調べてたら...意外な事実に遭遇 ♪

あのナイチンゲールの恩師でしたのねぇ!!

http://homepage2.nifty.com/Tetsutaro/Writer/B/B064.html より Orz～

「◆ 不変の双子　アーサー・ケイリー（Arthur Cayley　1821.8.16-1895.1.26）　イギリス　　と、

ジェイムズ・ジョセフ・シルベスタ（James Joseph Sylvester　1814.9.3-1897.3.15）　イギリス

富裕な商家に生まれたケイリーは、幼少の時から優れた才能を発揮していたと言われます。ケンブリッジで彼は数学において他の学生の及ばない力量を発揮しました。大学では彼の名は常に特別扱いされ、「首席より上位」と評価されていました。25才になる前に数十の論文を認められ、幾何学において新しい学問を創設しました。卒業後、心ならずも法曹界に入った彼は、ここでシルベスタに出会います。

ユダヤ人の両親の元に生まれたシルベスタは、ユダヤ人であることからさまざまなハンディを背負いました。ケンブリッジを優れた成績で卒業しましたが、イギリス国教会の規定により学位はあたえられず、彼は学位をダブリンで得ます。（1871年に規定が変更された時、ケンブリッジ大学は即座に彼に名誉学位を送ります）広い教養と興味を持っていた彼は、偉大な数学者にならなければ偉大な詩人になったかもしれません。アメリカで教師としての生活に絶望したあと、彼は法律で身を立てようとし、ケイリーに出会います。彼らはまったく違う性格ながら意気投合し、互いに刺激しあって空間幾何学における一大分野を開拓しました。彼らの基礎を元に、次の世代のリーマン、クリストフェル、リー、そしてアインシュタインが新しい理論を形成します。
冷静で冷たい印象さえ与えるケイリーは、図形の計量的性格と射影的性格を結びつける画期的な業績を上げ、長い闘病生活のあと弟子たちに讃えられながら息絶えました。享年73才。

大いに笑い、大いに怒り、短気で暖かい人間だったシルベスタは、若い時は教師としては失敗しましたが、個人教授として何名かの生徒を持ちました。その中の一人が、のちに別な分野で世界的に尊敬を集めます。フローレンス・ナイチンゲールという女性です。
70才にしてオックスフォードの数学教師として招聘されたシルベスタは、アメリカから意気揚々とイギリスに渡ります。力のこもった彼の講義は、人気の的でした。退職後、ロンドンの自宅で麻痺の発作におそわれ、数日後に生涯を閉じました。享年83才。」