4113：角度...'

問題4113・・・水の流れ http://www2.ocn.ne.jp/~mizuryu/renzoku.html より Orz〜

四角形ＡＢＣＤにおいて、∠ＡＢＤ＝５０°，∠ＤＢＣ＝∠ＡＣＤ＝３０°，

∠ＡＣＢ＝４０°のとき、∠ＣＡＤは何度か。

解答

上記サイトより Orz〜

・uchinyanさんのもの Orz〜

まず，

∠ABD = 50°，∠DBC = 30°，∠ACB = 40°，∠ACD = 30°

∠ABC = ∠ABD + ∠DBC = 50°+ 30°= 80°

∠DCB = ∠ACB + ∠DCA = 40°+ 30°= 70°

∠BAC = 180°- ∠ABC - ∠ACB = 180°- (50°+ 30°) - 40°= 60°

∠BDC = 180°- ∠DBC - ∠DCB = 180°- 30°- 70°= 80°

に注意しておきます。

 

(解法1)

△DBC の外心を E とします。すると，EB = EC = ED なので，角度の関係を調べると，

∠EBC = ∠ECB = x，∠ECD = ∠EDC = y，∠EDB = ∠EBD = z

z + x = ∠DBC = 30°，x + y = ∠BCD = 70°，y + z = ∠CDB = 80°

になり，これを解くと，

∠EBC = ∠ECB = x = 10°，∠ECD = ∠EDC = y = 60°，∠EDB = ∠EBD = z = 20°

そこで，△CDE は正三角形で，∠ECA = ∠ECD - ∠ACD = 60°- 30°= 30°= ∠ACD になり，

AC は ∠ECD の二等分線で，△CDE は AC に関して対称です。

ここで，BE の E の方への延長と AC との交点を F とすると，

∠EFA = ∠BFA = ∠FBC + ∠FCB = ∠EBC + ∠ACB = 10°+ 40°= 50°

△CDE は AC に関して対称だったので，∠DFA = ∠EFA = 50°になります。

そこで，∠ABD = 50°= ∠AFD なので，□ABFD は円に内接します。

これより，

∠CAD = ∠FAD = ∠FBD = ∠EBD = 20°

になります。

 

(解法2)

△ABC に注目してもできます。△ABC の外心を O とします。

すると，∠AOB = ∠ACB * 2 = 40°* 2 = 80°なので，

OA = OB より ∠OBA = ∠OAB = 50°= ∠ABD となり，O は BD 上にあります。

このとき，OA = OB = OC，∠BAC = 60°なので，

∠OAC = ∠OCA = ∠BAC - ∠OAB = 60°- 50°= 10°

∠OBC = ∠OCB = ∠ACB - ∠OCA = 40°- 10°= 30°

です。ここで，円O と CD の D の方への延長との交点を P とします。

すると，OC = OP なので，∠OPC = ∠OCP = ∠OCA + ∠ACD = 10°+ 30°= 40°です。

そこで，∠COP = 180°- ∠OPC - ∠OCP = 180°- (40°+ 40°) = 100°ですが，

∠COD = ∠OBC + ∠OCB = 30°+ 30°= 60°，∠DOP = ∠COP - ∠COD = 100°- 60°= 40°です。

これより，∠DOP = 40°= ∠DPO で △DOP は二等辺三角形です。

一方で，∠AOD = ∠OAB + ∠OBA = 50°+ 50°= 100°なので，

∠AOP = ∠AOD - ∠DOP = 100°- 40°= 60°で，OA = OP なので，△AOP は正三角形です。

これより，□AODP はたこ形で AD に関して対称になります。

そこで，∠OAD = ∠OAP/2 = 60°/2 = 30°になり，

∠CAD = ∠OAD - ∠OAC = 30°- 10°= 20°

になります。

 

(解法3)

BC 上に ∠BAK = 20°となる点 K を，CD 上又はその延長上に ∠LKC = 40°となる点 L を取ります。

すると，

∠AKB = 180°- ∠ABC - ∠BAK = 180°- 80°- 20°= 80°= ∠ABK，AB = AK，

∠KAC = ∠AKB - ∠KCA = 80°- 40°= 40°= ∠KCA，KA = KC，

∠KLC = 180°- ∠BCD - ∠LKC = 180°- 70°- 40°= 70°= ∠KCL，KC = KL，

つまり，KA = KC，また，∠AKL = 180°- ∠AKB - ∠LKC = 180°- 80°- 40°= 60°なので，

△AKL は正三角形になります。そこで，AL = AK です。これより，

∠BAL = ∠BAK + ∠KAL = 20°+ 60°= 80°

∠ABL = ∠ALB = (180°- ∠BAL)/2 = (180°- 80°)/2 = 50°= ∠ABD

そこで，L は D に一致します。これより，

∠BAD = ∠BAL = 80°

∠CAD = ∠BAD - ∠BAC = 80°- 60°= 20°

になります。

・MVHさんのもの Orz〜

・わたしの...

今回の問題は、フランクリンの凧もどきの問題として有名？...わたしは知ってました 

二等辺三角形の中の二等辺三角形ってな記事を読んだことがあります♪

難しい問題は...正三角形を見つけ出せってなセオリーも有名？...

答は...20°

図を添付しま〜す Orz〜　　拙い図で恐縮です Orz...

[スモークマン]

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解答がアップされました♪
水の流れさんのコメント Orz〜
「書物を調べていたら、次のことが書いてありました。
∠ＡＢＤ＝α，∠ＡＣＢ＝β，∠ＡＤＢ＝Ｘ，∠ＣＡＤ＝Ｙとする。
条件 ∠ＡＣＤ＝∠ＤＢＣ＝３０゜，∠ＡＢＣ＝２βならば
Ｘ＝α，Ｙ＝６０゜−β である。」

* 知らないと難問ですぅ...^^;...