1729...ハーディ・ラマヌジャン数 / タクシー数...♪

これは有名な逸話で...以前にもアップしてます...^^

その逸話の続きってのがあったのを知ったもので...♪

まずは...その逸話なるものを...↓

画像：http://ja.wikipedia.org/wiki/シュリニヴァーサ・ラマヌジャン より

「シュリニヴァーサ・ラマヌジャン（Srinivasa Aiyangar Ramanujan、1887年12月22日 - 1920年4月26日）はインドの数学者。極めて直感的、天才的な閃きにより「インドの魔術師」の異名を取った。・・・

渡英後に発表した四十編の論文の他には、渡英前の数学的発見を記したノート三冊、帰国後に記された「失われたノートブック」が残っている。ただし、大学で系統的な数学教育を受けなかったため、彼は「証明」という概念を持っておらず、得た「定理」に関して彼なりの理由付けをするに留まっていた（寝ている間にナマギーリ女神が教えてくれた、など）。共同研究を行なっていたハーディも、彼の直感性を損ねることを恐れて証明を押し付けることは避け、朝ラマヌジャンが持ってきた半ダースもの「定理」を一日かけて改めて証明するという方法をとった。明確な証明を付けなかったことで、ラマヌジャンの業績は理解されにくいものとなった。彼が26歳までに発見した定理に関して、その後多くの数学者の協力で証明が行われたが、その作業が完了したのは1997年である。

渡英前のノートに記された公式群は、既に知られていたものも多かったが、連分数や代数的級数などに関しては新しい発見があった。渡英後に発表したラマヌジャンの保型形式、それに関連したラマヌジャン予想は重要な未解決問題であった（1974年にドリーニュが解決）。その他、ロジャース・ラマヌジャン恒等式の再発見や確率論的整数論を創始した功績も高く評価されているが、帰印後のハーディへの手紙に記された「擬テータ関数」の発見が最高の仕事と評されている。後にハーディはラマヌジャンの仕事について、以下のように述懐している。

（ラマヌジャンの仕事は）真に偉大な仕事の単純さと不可避性を備えてはいなかった。それは奇妙さが減れば、より偉大になっただろう。しかしそこには誰も否定できない天賦の才能があった。それは深く無敵の独創性である。もし彼がもっと若い頃に発見され、馴らされていたら、おそらくもっと偉大な数学者になって、新しい発見やより重要な発見をしただろう。一方、彼はそれほど「ラマヌジャン的」でなくなり、ヨーロッパの教授風になって、得るものより失うもののほうが大きかったかもしれない。

彼はその短い生涯の間に3254個の数学の公式を発見したという。

現在ラマヌジャンの遺産は概ね証明を得られたものの、何故ラマヌジャンがそのような着想に至ったのかについては未だに謎が多く、そこには未知の数学的鉱脈が眠っている可能性がある。

ラマヌジャンの逸話として有名なものの一つに次のものがある。

1918年2月ごろ、ラマヌジャンは療養所に入っており、見舞いに来たハーディは次のようなことを言った。

イギリスの数学者ハーディHardy

http://www.primate.or.jp/PF/yasuda2/38.html より Orz〜

「二十世紀初頭インドの独学の天才ラマヌジャンRamanujanを世に出さしめたのはハーディであった。他の数学者はラマヌジャンを理解し評価することはなかった。独身で午前は数学、午後はクリケット、夕方はバーでワインという保守的な生活を過ごしていたハーディはラマヌジャンを見出したことは生涯でひとつのロマンチックな事件であったと言っている。いくつもの定理が書かれている手書きの手紙を読んだとき、こんなことがあるのか、これはかなりの高等数学を理解した者だけが書ける事柄で、これらの公式や定理は正しいのであろう。正しくなければこれらを発見する想像力は考えられない！ラマヌジャンには近代数学に必須の証明という概念がなくナマギーリ女神の啓示であるという「結果」のみが書かれていた。たとえば彼が与えた円周率πについての無限級数展開がコンピュータによるπの値の計算に今日使われている。また手軽な電卓で計算できるπ⁴≒2143/22なる公式をその導き方を示さずに、ぽつんと与えている。2143÷22＝√√の順序で電卓のキイをおせばπ≒3.14159265258…が得られる。これは小数点以下8桁まで正しく、10桁目を四捨五入すると9桁目まで正しい数値を与えている。もちろん当時に電卓などは存在していなかった！いかなる遺伝子の組み合わせのゲノムがナマギーリ女神の啓示との相互作用で、ラマヌジャンのような天才を生じせしめたのであろうか。誰にもわからない！」

「乗ってきたタクシーのナンバーは1729だった。さして特徴のない、つまらない数字だったよ」

これを聞いたラマヌジャンは、すぐさま次のように言った。

「そんなことはありません。とても興味深い数字です。それは2通りの2つの立方数の和で表せる最小の数です」

実は、1729は次のように表すことができる。

1729 = 12³ + 1³ = 10³ + 9³

すなわち、1729が「A=B³+C³=D³+E³」という形で表すことのできる最小の数であることを、ラマヌジャンは即座に指摘したのである。

これは、ラマヌジャンがあらゆる数に興味を持ち、数に対する探究心が高かったことを表す逸話である。当時はフェルマーの最終定理が数学界の主な話題であり、小さな立方数が頭に入っていたとすれば1729から1728(12³)や729(9³)が思い浮かぶのも不思議ではない。1と1000がそれぞれ立方数であることも明らかなので、あとは1729が最小であるかどうかの計算だけである。この逸話は、ラマヌジャンの計算能力が高かったというような意味合いで語られることがあるが、実際は、様々な研究をしていたラマヌジャンは以前からこれを知っていて、それを思い出したのであろう。このようなことから、リトルウッドは「全ての自然数はラマヌジャンの個人的な友人だ」と述べたと言われる。この逸話のため、1729は俗にハーディ・ラマヌジャン数やタクシー数などと呼ばれており、スタートレックやフューチュラマなどのSFや、ハッカー文化の文脈では「一見すると特に意味のない数」のような文脈でこの数が使われていることがある。

ちなみにこの逸話には続きがあり、ハーディが四乗数でも同様のものがあるのかを尋ねた所、ラマヌジャンは少し考えた後「あると思うが大きすぎて分からない」と答えたという。この直感は当たっており、実際、四乗数はそれより何桁も大きい数である。

635 318 657 = 134⁴ + 133⁴ = 158⁴ + 59⁴

補足：上記でいう立方数は自然数を3乗した数のことであり、整数（0は含まず）を3乗した数として負の数まで含めれば、91が最小（絶対値が最小）である。

91 = 6³ + (-5)³ = 4³ + 3^3　」

http://homepage1.nifty.com/metatron/zone-8/(KIN258)-943.htm より Orz〜

「英国で入院中のインドの数学者ラマヌジャンをＧ．Ｈ．ハーディが見舞いに行った時のエピソードは有名である。乗ってきたタクシーのナンバーが１７２９というつまらない数だったとハーディが言うと、ラマヌジャンはすかさず、それはつまらない数などではなく、正の３乗数の和で２通りに表すことができる最小の整数だと答えた。その後の４乗数の和で２通りに表すことのできる最小の数を知っているか？というハーディのそれに対する数学的な最短距離の質問も切れ味が良い。その答はオイラーが発見したといわれている６３５３１８６５７（＝１３４4＋１３３^4＝１５８^4＋５９^4）である。 

ラマヌジャンは大好きな人物の１人だが、私は数学的問題としてではなく暦の問題として、この１７２９に行き着いた。この１７２９＝１０^3＋９^3＝１２^3＋１^3であるということよりも、私には９１×１９という反点数同士の積であることや、シエラザードの数１００１と３６４日Ｘ２の和であることの方に気が向いている。・・・

それにしても１２の３乗は１７２８である。そしてこの１７２９はこの３次元空間の３方向を１２で満たしている立方体の体積に１を足したものでもある。つまり１７２９は１２の限界を１つ超した数と考えることもできるというわけである。」

*数覚に優れてる人ってあるのよね!!

犬のように嗅覚が何万倍も鋭敏な方っていらっしゃるわけだぁ♪