円の面積(円周率)のピックの定理からの近似...♪

ピックの定理見てて...方眼を極小にして行けば...円周も対角線に近似できるから、円の面積=円周率πが求められるはずだよなぁって思ったもので...^^

サーチしてみると...同じ発想の入試問題があった♪

↓

格子点と面積・面積での近似・Pickの定理

http://komurokunio.web.infoseek.co.jp/problem/problem2.html より Orz〜

問題

ｎを自然数とする．

│ｘ│≦ｎ，│ｙ│≦ｎ

を満たす格子点の個数をＳ_ｎ

ｘ^２＋ｙ^２≦ｎ^２ を満たす格子点の個数をＴ_ｎとし，

ｐ_ｎ＝Ｔ_ｎ／Ｓ_ｎ

とおく．

（１）ｎ→∞のときのｐ_ｎの極限値を求めよ．

（２）ｐ_ｎ＜π／４を証明せよ．

（平成２１年山梨大）

*詳しくは...上記サイト参照してください〜Orz...

  わたしゃ...ついて行けましぇん...^^;...

図のように，格子点多角形をつくり，
格子点多角形の内部の点の個数をａ，周上の点の個数をｂとする．
このとき，Pickの定理より
http://komurokunio.web.infoseek.co.jp/problem/proshiki38.gif

*上の図でいうと...a=13*4+5*4+1=73, b=4+2*4=12

a+b/2-1=73+6-1=78≦5^2*π

78/25=3.12≦π

これで、n=6 のときと挟み撃ちして行けばいいはず♪

ところで...円周上の格子点は...

上の場合は半径５だから ３：４：５だけど...

半径６のときはどうなるんだろ...?

ってことは...

半径が5の倍数の巨大な場合を考えていけばいいのだろうけど...

じっさいは...数えるしかないのかもしれないなぁ...^^;?

これって...モンテカルロ法とは違うでっしょ???...

画像：http://wonderfl.net/c/qMMP/read より Orz〜

画像：http://www.ed.kagu.tus.ac.jp/j1410038/html/Practice.htm より Orz〜

「・モンテカルロ法とは 

正方形に内接する円を考え、正方形の内部にでたらめにたくさん点を打つと 

正方形と円の面積比≒内部の点の比 

この式から円周率を近似する。 （モンテカルロ法の図） 」

追加...^^...2011.06.28.

http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/1366_s1.htm より Orz〜

「ガウスの円問題

　原点を中心とした半径ｒの円の内部（境界を含む）にある整数点の個数をＲ（ｒ）で表す．

　　Ｒ（１０）＝３１７　　　　　　　Ｒ（１００）＝３１４１７

　　Ｒ（２０）＝１２５７　　　　　　Ｒ（２００）＝１２５６２７

　　Ｒ（３０）＝２８２１　　　　　　Ｒ（３００）＝２８２６９７

　Ｒ（ｒ）は円の面積の推定値を与える．

　　ｒ　　　Ｒ（ｒ）／ｒ^2　　　　　ｒ　　　Ｒ（ｒ）／ｒ^2

　　１０　　　３．１７　　　　　　　１００　　　３．１４１７

　　２０　　　３．１４２５　　　　　２００　　　３．１４０７２５

　　３０　　　３．１３４　　　　　　３００　　　３．１４１０７

　ガウスは

　　｜Ｒ（ｒ）−πｒ^2｜＜ｃｒ

を示したが，

　　｜Ｒ（ｒ）−πｒ^2｜＜ｃｒ^k

となるｋの最小値を求める問題に一般化される．

　シェルピンスキーはｋ≦２／３を証明し，ガウスのｋ＝１を大きく改善した．ヴィノグラードフはｋ≦３４／５３，１９６３年に陳景潤はｋ≦２４／３７を，１９９０年にハクスリーはｋ≦４６／７３を得たが，シェルピンスキーの成果からほんのわずかしか進んでいない．最近，ハクスリーは４６／７３を１３１／２０８に改良している．

　下の値は１９１５年，ハーディとランダウが与えたｋ＝１／２と予想されている．・・・」

*半径 r が大きくなれば...ピックの定理の...+円周上の点の数/2 - 1 は誤差になるから...

 上のR(10)/10^2=317/100=3.17

          R(100)/100^2=31417/100^2=3.1417

  と...πに近似されて行ってますね♪

[スモークマン]

↑
Ikuro's Home Page の記事を追加させていただきました♪

[スモークマン]

↑
以下のサイトで計算＆図示お願いしたものがアップされました♡
完全無欠で荒唐無稽な夢
「ピックの定理と円周率について」
http://d.hatena.ne.jp/Hyperion64/20111101/1320149139#c
ありがとうございました〜m(_ _)m〜v