5013：最大値/最小値...条件付き...

問題5013・・・やどかりさんのブログ http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/30013264.html より Orz～

　x，y を実数として、|x＋y－1|＋|x－y－1|＝8 のとき、x²＋y² の最大値・最小値は？

解答

上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/30071760.html より Orz～

[解答1]

|x＋y－1|＋|x－y－1|＝8 は |(x－1)＋y|＋|(x－1)－y|＝8 と書けるから、このグラフは、
|x＋y|＋|x－y|＝8 のグラフをｘ軸方向に 1 平行移動したものです。

|x＋y|＋|x－y|＝8 は、x を y ，y を x に書きかえても変わらないので y＝x に関して対称で、
x を－y ，y を－x に書きかえても変わらないので y＝－x に関しても対称です。

y≧x ，y≧－x のとき、(x＋y)＋(－x＋y)＝8 、y＝4 になります。

y＝x ，y＝－x に関して対称にグラフを描くと、
(4，4)，(－4，4)，(－4，－4)，(4，－4) を頂点とする正方形(の周囲)になります。

これをｘ軸方向に 1 平行移動すると頂点は、(5，4)，(－3，4)，(－3，－4)，(5，－4) になります。

また、x²＋y² は (0，0)と(x，y)の距離の２乗だから、
正方形の周囲の点で、(0，0)から最も遠いときに最大、最も近いときに最小になります。

従って、(x，y)＝(5，±4) のとき最大値 41 、(x，y)＝(－3，0) のとき最小値 9 です。

[解答2]

x＋y－1＝X ，x－y－1＝Y とおけば、 |X|＋|Y|＝8 と書けます。

これは、Ｘ軸に関してもＹ軸に関しても対称で、
(8，0)，(0，8)，(－8，0)，(0，－8) を頂点とする正方形(の周囲)になります。

また、x＝(X＋Y)/2＋1 ，y＝(X－Y)/2 となって、
x²＋y²＝X²/2＋Y²/2＋X＋Y＋1＝{(X＋1)²＋(Y＋1)²}/2
は (－1，－1)と(X，Y)の距離の２乗の 1/2 だから、
正方形の周囲の点で、(－1，－1)から最も遠いときに最大、最も近いときに最小になります。

従って、(X，Y)＝(8，0)，(0，8) のとき最大値 41 、(X，Y)＝(－4，－4) のとき最小値 9 です。

*これは気づけましたぁ♪

x+y=a, x-y=b として、
|a-1|+|b-1|=8 のグラフを描き...
x^2+y^2=(a^2+b^2)/2 とそれらが交わる場合の半径で考えればいい...
描くと...(1,1) を中心にした正方形...
(0,0)からの半径^2では...
Min=(8√2/2-√2)^2/2=9
Max=(9^2+1^2)/2=82/2=41
けっきょく...
x^2+y^2 のMax, Min はそれぞれ...41, 9 になる♪