ア + エ = イ + ウ，(ア + エ)/2 = (イ + ウ)/2，と見ると，
四つの数を，最小・最大の平均と間の二つの平均とが等しくなるように選ぶことになります。
これは，平均にあたる値を決め，それに対して小さい大きいが対称になるように選ぶことになります。つまり，下半分の数からアとイを選び，ウとエは平均がその決めた値になるようにその値に対称に決めること，又はその逆，になります。
平均が (n + 1)/2 のときは，この値の下側から ア，イ を選び，平均に関して対称に上側から ウ，エ を決めることになり，(n + 1)/2 より下側にある自然数から二つを選んでくればいいことになります。平均がこれ以外の値のときは，(n + 1)/2 より下側に平均がある場合と (n + 1)/2 に関して対称な上側の位置に平均がある場合とは，選び方の数は同じになります。さらに，下側だけを考えても，平均の値が，自然数の場合と その自然数 - 1/2 の場合の選び方の数も同じです。そして，下側だけであって平均の値が自然数の場合は，(n + 1)/2 より下側にある自然数から三つを選んで小さい順に ア，イ，平均 とすればいいことになります。
以上のことを踏まえて．．．
(n + 1)/2 が自然数でない場合，つまり n が偶数の場合
平均が (n + 1)/2 のときは，(n/2)C2 通り。
平均がこれ以外の値のときは，(n + 1)/2 のすぐ下の平均が自然数なので，先ほどのままの考え方で，(n/2)C3 * 2 * 2 通り。そこで，全体では，これらの合計で，
(n/2)C2 + (n/2)C3 * 2 * 2 = ((n/2)(n/2 - 1))/2 +((n/2)(n/2 - 1)(n/2 - 2))/6 * 4= n(n-2)(2n-5)/24 通り
(n + 1)/2 が自然数の場合，つまり n が奇数の場合
平均が (n + 1)/2 のときは，((n-1)/2)C2 通り。
平均がこれ以外の値のときは，(n + 1)/2 のすぐ下の平均が 自然数 - 1/2 なので，仮にすぐ下の平均が自然数になるように (n + 2)/2 を基に考えると，((n+1)/2)C3* 2 * 2 通り。しかし，実際には平均が (n + 1)/2 のときの ((n-1)/2)C2通り を足し過ぎています。そこで，全体では，この分を引いて，
((n+1)/2)C3 * 2 * 2 - ((n-1)/2)C2 = (((n+1)/2)((n+1)/2 -1)((n+1)/2 - 2))/6 * 4 - (((n-1)/2)((n-1)/2 - 1))/2
= (n-1)(n-3)(2n-1)/24 通りになります。
・鯨鯢(Keigei)さんのもの Orz〜
まず、１〜ｎ から ア，イ，エ を選ぶと、ウ＝ア＋エ−イ で決まります。
ア，イ，エ の選び方は nＣ3＝n(n−1)(n−2)/6 です。
この中には イ＝ウ＝(ア＋エ)/2 となるものがあり、これは、偶数からア，エを選ぶか、奇数からア，エを選ぶことになるから、ｎが偶数のときは、2×(n/2)Ｃ2＝2(n/2)(n/2−1)/2＝n(n−2)/4 、
ｎが奇数のときは、{(n−1)/2}Ｃ2＋{(n＋1)/2}Ｃ2＝{(n−1)/2}{(n−3)/2}/2＋{(n＋1)/2}{(n−1)/2}/2＝(n−1)^2/4 、これを除いて、イ＜ウ，イ＞ウ が同数あることに注意すれば、
ｎが偶数のときは、{n(n−1)(n−2)/6−n(n−2)/4}/2＝n(n−2)(2n−5)/24 、
ｎが奇数のときは、{n(n−1)(n−2)/6−(n−1)^2/4}/2＝(n−1)(n−3)(2n−1)/24 になります。
なお、ｎが偶数のとき a＝0 、ｎが奇数のとき a＝1 とすれば、
ア，エの選び方は {n(n−2)＋a}/4＝n(n−2)/4＋a/4 だから、
答は、{n(n−1)(n−2)/6−n(n−2)/4−a/4}/2＝n(n−2)(2n−5)/24−a/8＝[n(n−2)(2n−5)/24] です。
*熟読玩味ぃ〜☆
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解答をアップさせていただきました ^^
2012/10/5(金) 午前 1:47 [ スモークマン ]