5322：三角...底辺に接する円列...

問題5322・・・やどかりさんのブログ  http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/31323999.html  より Orz〜

　AB＋AC＝875，BC＝805 の △ABC があり、辺BCに接するように同じ半径の複数の円を並べます。

　このとき、図のように、隣り合う円は外接し、端の円は辺ABや辺ACに接するようにします。
　４個の円を並べたときの４個の円の面積の和と、９個の円を並べたときの９個の円の面積の和が
　等しいとき、△ABC の面積は？

解答

上記サイト  http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/31362980.html  より Orz〜

△ABC の内接円の半径を r，辺BCとの接点を T とし、BT＝br，CT＝cr とします。

　円を n 個並べたときの半径を x とすれば、bx＋cx＋2(n−1)x＝BC だから、
　b＋c−2＝d とすれば、(2n＋d)x＝BC 、x＝BC/(2n＋d) となって、
　n 個の円の面積の和は、nπBC²/(2n＋d)² になります。

　n＝4 ，n＝9 のときのこの値が等しいから、
　4πBC²/(8＋d)²＝9πBC²/(18＋d)² 、4/(8＋d)²＝9/(18＋d)² 、
　9(8＋d)²＝4(18＋d)² 、576＋144d＋9d²＝1296＋144d＋4d² 、

　d＝12 になり、b＋c＝14 、BC＝br＋cr＝14r＝805 、r＝115/2 になります。

　(875＋805)/2＝840 だから、△ABC の面積は、840･115/2＝48300 です。


[参考]

　ヘロンの公式により、面積は、√{840(840−805)(840−AB)(840−AC)}＝48300 、
　840(840−805)(840−AB)(840−AC)＝48300² 、(840−AB)(840−AC)＝79350 、

　AB･AC−(AB＋AC)･840＋840²＝79350 、AB･AC−875･840＋840²＝79350 、
　AB･AC−35･840＝79350 、AB･AC＝108750 だから、
　AB，AC は x²−805x＋108750＝0 を解いて、150，725 になります。

*同じ感じで解けましたぁ ^^

ちなみにわたしの...

x+y+6a=p+q+16b=805
4a^2=9b^2...2a=3b
x+y : p+q = 3 : 2
x+y+6a=(2/3)*(x+y)+(32/3)*a
(14/3)*a=(x+y)/3
14*a=x+y
(14+6)*a=805
a=805/20=161/4
x+y=14*a=7*161/2
805 : 7*161/2 = 10 : 7
(875+805)*(10/7)*(161/4)/2=48300

* (10/7)^2 かと最初思ってたんだけど...^^;...a のところで、すでに織り込んでたわけでしたぁ...Orz...

三カ所を合体させた△は...すべて相似になるのは...２角が同じだから当然でしたね☆

[スモークマン]

＞鍵コメ様へ ^^
やっぱり...^^;...
夜目遠目藪の中じゃ...だめなのね...Orz〜
騙されたっていいわたしですぅ〜^^...
but...騙すなら最後まで騙し続けて☆...

[スモークマン]

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