ルーローの△の重心...等高重心立体の代表スフェリコン...☆

滑りにくいけど転がる...転がるけど重心の高さは上下する...って知ってた？...^^;

わたしゃ...同じだと思い込んでたけど...「等高重心立体」ってものを知ったときその違いがわかった〜♪

 　　　　　　　　　　　画像：http://ja.wikipedia.org/wiki/ルーローの多角形 より Orz〜

「ルーローの多角形（Reuleaux）は、正奇数角形（正三角形、正五角形、正七角形、等）の辺を膨らませてできる定幅図形である。正何角形を元にしたかで、ルーローの三角形、ルーローの五角形、ルーローの七角形等と呼ばれる。

より詳しく言えば、正奇数角形の各頂点を中心とし最も長い対角線を半径とする円を描いた場合の、それらの共通部分である。すなわち、正奇数角形の辺となる線分が、向かい合う頂点を中心とする円弧で置き換えられている。

ルーローの多角形が作図できるのは正奇数角形に対してだけであり、正偶数角形からは作れない。頂点と辺ではなく、頂点と頂点、辺と辺が向かい合っているからである。辺に向かい合った頂点のかわりに向かい合った辺の中点を使えば、似たような膨らんだ偶数角形が得られるが、定幅図形ではないのでルーローの偶数角形とはみなさない。

定幅図形であり、高さを変えずに転がることができる。ただし、円と異なり、重心の高さは変化する。しかし辺の数が大きくなるにつれて、最高の重心の高さと最低の高さの差が小さくなるので、ルーローの三角形よりもスムーズに転がる。

・・・

幅が等しい定幅図形の周の長さは等しいとするバービエの定理より、幅 s のルーローの n 角形の周の長さは n によらず直径 s の円周に等しい http://upload.wikimedia.org/math/b/a/6/ba6c4adeeb449eecf5923459d29887d6.png である。辺の長さは http://upload.wikimedia.org/math/8/5/a/85aae93f5ef3057691355a7f275fa517.png である。また、面積は直径 s の円より小さい。

画像：http://www2.odn.ne.jp/~aai55890/rurosubete.htm より 拝借 Orz〜

*この図を見てもわかる通り...重心は上下してますね!! ^^;

幅 s とすると...重心はその対称性から...正三角形の重心に一致するから...

頂点から...(2/3)*(√3/2)*s = (√3/3)*s 

√3/3 = 0.577...> 1/2 

一番低いときは...0.422...と結構上下しちゃうのね !!...

ルーローの七角形型をした、イギリスの20ペンス硬貨や50ペンス硬貨がよく知られている。

この硬貨はまず定幅図形としての性質がなければ、全く使いものにならなくなってしまう。なぜなら、自動販売機にこの硬貨を入れた時、この硬貨が定幅図形でなければ途中で引っかったり、機械が実際の物よりも小さい物であると判断しかねない。これでは不自由である。しかし、この硬貨は定幅図形なので円形の硬貨と同じように不自由なく使える。

*マンホールの蓋の原理 ^^

また、この図形は完全な円形ではなく頂点を持っている。これによって転がった時に重心の高さが変化するので、スムーズに転がらなくなる。すると、この硬貨を落とした時に、転がって手の届かないところに行ってしまうことが少なくなる。・・・」

で...その...等高重心立体ってのが...下のようなもの♪

 　　　　　　　　　　　　画像：http://d.hatena.ne.jp/JunMitani/20100426 より 拝借 Orz〜

http://www1.ttcn.ne.jp/~a-nishi/sphericon/sphericon.html より 引用 Orz〜

「スフェリコン(sphericon)は1970年英国人Colin Roberts氏によって発明された.

スフェリコンは,正方形を対角線を軸に回転させて出来る上下2つの円錐を,軸を含む平面で2等分し,一方を90°回転して張り合わせてできている.こうして出来た立体は全体が1つの曲面で囲まれて,重心の上下動なく平面上をゆれながら転がる.」

↑

*アニメーションあります♪ よちよちだけど目標地点には進めそう？

画像：http://homepage1.nifty.com/metatron/zone-17/para051.htm より 引用 Orz〜

「名前はスフェリコンと言う。頂点は４つあり、線は曲線（半円）が２本、そして面は曲面からなる１面体だ。線が直交した位置で対になっているのは正４面体を連想させるし、面が１つであることは球体にも似ている。見る方向によってはシルエットが正方形になる円錐対にも見える。半円＋半正方形になる断面が３面直交するところは、正８面体を連想もさせる。

・・・

展開図は図の通り。赤い線の部分は折れずに滑らかに接続している。また赤い線が作る扇形の中心角は90√２度で、弧度法では√２πラジアン（127.28度くらい）である。

・・・

また同一立方体に収まる半径の等しい「円錐対」「球体」「円柱」の体積比は１：２：３：だが、円錐対を９０度回転させたスフェリコンは円錐対と等しいので、これらの比率に対しては体積比１である。」

*たしか...やどかりさんの問題にも出てたオブジェだけど...^^

画家さんが見つけても不思議じゃないくらい怪しくも美しいフォルムだわ☆