5647：角の二等分線...

問題5647・・・ヤドカリさんの記事 http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/32157672.html  にちなんで Orz〜...作ってみました ^^

△ABCにおいて、角Aが鋭角のとき...AB=5, AC=3のとき、角Aの二等分線の長さは最大でもある値を超えることがありません。その値を求めてください。

☆ヤドカリさんの記事で扱われている図を拝借 Orz〜☆

解答

・わたしの想定していたもの...^^;

BC^2=AB^2+AC^2-2AB*AC*cos2θ

BD^2=AB^2+AD^2-2AB*AD*cosθ

DC^2=AC^2+AD^2-2AC*AD*cosθ

2BD*DC=-2AD^2-2AB*AC*(2(cosθ)^2-1)+2AD*(AB+AC)*cosθ

AD^2=AB*AC-BD*DC-2AB*AC*(cosθ)^2+AD*(AB+AC)*cosθ

ここで、上の定理から...

AD^2=AB*AC-BD*DC なので...

cosθ=AD*(AB+AC)/(2AB*AC)

で表せることになり...

AB=5,AD=3,AC=4 は...3*9/(2*20)<1で、ありえるけど、

AB=5, AD=4, AC=3 は...4*8/(2*15)>1 で存在しないのね ^^;

だからどうしたですけど...Orz〜

けっきょく...5,3の場合は...8*AD/30<1...AD<30/8=15/4=3.75 でなきゃ存在できず...

5,4なら...9*AD/40<1...AD<40/9=4.44...なら存在できるんですね？

ってなことでしたぁ...Orz〜

・鍵コメT様からのもの Orz〜

∠Aが鋭角ということなので，角の2等分線長には，下限も存在します．

角の2等分線長をxとし，∠Aの大きさを2θとする．
面積を2通りに表して，(1/2)*3*5*sin2θ=(1/2)*(3+5)x*sinθ.
これよりx=(15/4)cosθとなって，0<θ<π/4から，
15/(4√2)<x<15/4.

2辺が4,5なら，(20/9)√2<x<40/9,
a,bなら(ab√2)/(a+b)<x<(2ab)/(a+b)となりますね．

*この問題に関しては、ずっと簡明に出せるんですね☆

グラッッチェ〜m(_ _)m〜☆

相加相乗平均に似た式あるね...たまたまなんだろか...？

[スモークマン]

＞11:01pmの鍵コメ様へ ^^
そうなのかぁ...^^;
一応わたしの想定解をアップさせていただきますぅ Orz〜

[スモークマン]

＞11:05pmの鍵コメs間へ ^^
さすがにご両人様とも速い☆
この定理自体は有名でしたのね...直しておきますね〜m(_ _)m〜v

[スモークマン]

＞0:14amの鍵コメ様へ ^^
なるほど☆
紹介させていただきまっす♪