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この角度に名前がついてるなんてちっとも知らなかった☆
自然界には隠れた暗号が満ち満ちてるのよ♪
http://getnews.jp/archives/175455 より 引用 Orz〜
「“マラルディの角度”という言葉をご存知でしょうか。イタリア生まれの天文学者であるジャコモ・フィリッポ・マラルディは、六角形を成す蜂の巣の底面に、ひし形が見えることに気づきました。彼がこのひし形の角度を算出したところ、鈍角のほうが109°28′になったことから、この角度を“マラルディの角度”と呼ぶようになったのです（蜂の巣の図は前川淳氏 *1 のブログにあります）。
*1：「蜂の巣の末端」 2011/09/17 『前川淳 折り紙＆かたち散歩』
http://origami.asablo.jp/blog/2011/09/17/6105645 ちょっと違うところでは、辺の比が1対ルート2の長方形（白銀長方形というそうです）の、辺の中点を結んで得られるひし形の鈍角が、まさにこのマラルディの角度になります。白銀長方形は、いわゆるA4やB5のコピー用紙、雑誌などによく用いられるものですから、極めて身近にもマラルディの角度が潜んでいることになります。
*計算...
(√3)^2+(√3)^2-2*(√3)^2*cosθ=(2√2)^2=8
(6-8)/6=-1/3=cosθ
cos^(-1)(-1/3)=109.5°
実のところこの角度は、有機化学者にとっても大変に重要な角度です。いうまでもなく炭素原子の結合角が、まさにこの109°28′であるからです。下図に示すとおり、メタンの水素−炭素−水素の角度は、ぴったりマラルディの角度になっています。
*計算...
http://www.shimanet.ed.jp/minami/link/homepage-naga005/grapes-001/seishimentai-kyuunaigaisetsu.pdf より 引用Orz〜
R=√6
同様に、余弦定理より...
2*(√6)^2^2*(√6)*cosθ=4^2=16
これは、上の式の両辺を2倍しただけで同じ...
*水素原子同士が反発しあうのか...くっ付きあいたいのか我知らず...^^;...
その区別が知りたいわたし...?
画像：http://www.canade.jp/naoaki/nc/?itemid=34 より 引用 Orz〜
「ちなみに、マラルディの角度の求め方は、立方体の頂点を結ぶ対角線のうち、任意の2本が作る角度の広いほうが、マラルディの角度となるとのこと。」...計算したら...109.5°ですね...^^;
1/3 が曲者だと思えたけど...^^;
やっぱりって感じでした☆
↓
「ｎ次元のマラルディー角
画像：http://www.ncsm.city.nagoya.jp/cgi-bin/visit/exhibition_guide/exhibit.cgi?id=S229&key=ま&keyword=膜 ;
より 引用 Orz〜
２次元的にランダムに配列した石鹸の泡はいろいろなサイズの泡細胞からなっていますが，表面張力の要請から境界長を極小化しようとしますから，接合角度は１２０度となります（プラトー問題・最小シュタイナー木問題）．
ｃｏｓθ＝−１／２，θ＝１２０°
このことから，石鹸の泡は各頂点の次数がすべて３である平面図形と考えることができます．
また，互いに１２０°の角度で交わる石鹸膜の交線は
ｃｏｓθ＝−１／３，θ＝１０９．４７１°
で接触します．正四面体の頂点から中心に向かう３枚の膜は互いに１２０°の角度をなし，中心に集まる４本の線は１０９．４７１°（マラルディの角）をなすのです．
このように１２０°と１０９．４７１°は石鹸膜が接触するときの基本的な角度ですが，正三角形ではｃｏｓθ＝−１／２，正四面体ではｃｏｓθ＝−１／３の右辺に現れる分母２，３がそれぞれ平面の次元の２，空間の次元の３と一致することは偶然ではありません．ｎ次元のマラルディの角は
ｃｏｓθ＝−１／ｎ
で与えられるのです．」
*この場合は...反発というよりも...引っ張りあってるわけですよね...^^
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