6554：フェルマー点...

問題6554・・・http://www.phoenix-c.or.jp/~tokioka/tokioka_mondai/a_101_150.htm ;

より 引用 Orz〜

解答

・わたしの…

120°に別れてることになるので…

AP=x, BP=y, CP=z とすると…

x^2+y^2+xy=5^2

y^2+z^2+yz=7^2

z^2+x^2+zx=8^2

z^2-x^2+y(z-x)=24

(z-x)(x+y+z)=24

(x-y)(x+y+z)=15

(z-y)(x+y+z)=39

(z-x)/(x-y)=8/5

(z-y)/(x-y)=13/5

13(z-x)=8(z-y)

5z=13x-8y

x^2+y^2+xy=5^2

25z^2+25x^2+25zx=25*8^2

(13x-8y)^2+25x^2+5(13x-8y)x=25*8^2

計算させると…

x=40/√129, y=25/√129

z=64/√129

もっと簡単に出せるのか知らん…^^;…?

・鍵コメT様からのもの Orz〜

条件式は，xとyが逆みたいです．

7:5:8はそこそこ有名な三角形で，∠B=60°です．
すると，∠PAB=60°-∠PBA=∠PBCとなり，
△PAB∽△PBCであって，相似比は，AB:BC=5:8です．
これより，PA:PB=PB:PC=5:8とわかります．
PA=5k,PB=8kとすれば，三角形PABに余弦定理を用いて，
25=(5^2+8^2+5・8)k^2=129k^2
から，k=5/√129となって，
PA=25/√129,PB=40/√129,PC=(8/5)PB=64/√129
となりますね．

*熟読玩味ぃ〜♪

http://www.sccj.net/event/nenkai/2011sp/program/abstract/1O09.pdf より 引用 Orz〜

*なるほどねぇ☆

こんな式変形に気付けるのが摩訶不思議 ^^;

[スモークマン]

＞5:21pmの鍵コメ様へ ^^
いわれれば… 「名古屋(758)」ってのを思い出したり♪
but...すぐピンと来ないわたし…^^;
紹介させていただきまっす〜m(_ _)m〜v