6832：積も２種類の数字だけになる３桁の数…

問題6832・・・やどかりさんのブログ http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/33838543.html 

より Orz〜

　１桁の自然数と２桁の自然数をかけて３桁の自然数になる □×□□＝□□□ の式について、

　例えば ９×９９＝８９１ は３種類の数字を使っていますが、

　２種類の数字でできている □×□□＝□□□ の形の等式は？

解答

上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/33862608.html より Orz〜

　□に入る数字を左から A，B，C，D，E，F とすれば、A＞0，B＞0，D＞0 です。

　□×□□＝□□□ は、A(10B＋C)＝100D＋10E＋F を意味します。

　100A＞100D＋10E＋F なので、A＞D＞0 が成り立ち、

　すべての数字が ２種類の数字 A，D のいずれかで、0は使えません。

　A，B，C，D，E，F の最小値が D，最大値が A になります。

　B＝C の場合は 100D＋10E＋F は 11の倍数になり、

　 100D＋10E＋F＝121，242，363，484，616，737，858 しか考えられません。

　 また、D≦E なので、100D＋10E＋F＝121，242，363，484 、

　 これは 11² の倍数なので、□×□□ の形になりません。

　よって、B≠C になります。

　B＝A の場合、C＝D になり、A(10A＋D)＝100D＋10E＋F になります。

　 D＝1 であれば、100＜A(10A＋1)＜200 より A＝4 、4×41＝164 は ３種類の数字が必要です。

　 A＞D≧2 のとき、AD の１の位 F は A または D であることを考慮して、

　 (A，D)＝(5，3)，(6，2)，(6，4)，(7，5)，(8，6)，(9，5) 、

　 実際、5×53＝265 ，6×62＝372 ，6×64＝384 ，7×75＝525 ，8×86＝688 ，9×95＝855 なので、

　 8×86＝688 だけが２種類の数字で表されます。

　C＝A の場合、B＝D になり、A(10D＋A)＝100D＋10E＋F になります。

　 A＞1 で　A² の１の位が F で　F≦A であることを考慮して、

　 (A，F)＝(5，5)，(6，6)，(8，4)，(9，1) 、

　 A＝5，6 のとき、A(10D＋A)≦6(10D＋6)＝60D＋36＝100D−(40D−36)＜100D は適しません。

　 (A，F)＝(8，4)，(9，1) のとき F≠A だから F＝D 、

　 8×48＝384 ，9×192＝171 は ３種類以上の数字が必要です。

　結局、□×□□＝□□□ の式が２種類の数字で構成されるのは 8×86＝688 だけです。

*A*C の下一桁が A or C になるもので考えました…^^

1＠？は3桁にならない...
2@1,2@6…221,266…x
3@1,3@3,3@5…331,393,355…x
4@1,4@6…441,446,466…x
5@1,5@5…551,525,535,545,565,575,585,595…x
6@1,6@6,6@8…661,626,636,656,676,686,696,668,688…x
7@1…771…x
8@1,8@6…881,866…x,886…◯
9@1…919,991…x

と思ってたら...以下のものが抜けてたりしましたが…^^;;

7@5…755,775…x
9@5…955,995…x

2@2…242…x
4@4…464…x
7@7…797…x
8@8…848…x

けっきょく…8*86 のみ…

余り絞り込んだとは言えず...
けっこうややこしかったり…Orz〜

[スモークマン]

＞鍵コメ様へ ^^
👍 👍 ^^w
ちと寒くなって来たようなそうでもないような…^^;…?
Orz〜

[スモークマン]

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