Schwarzの提灯...

こんなの見つけた☆

画像：http://d.hatena.ne.jp/latcha/20111004/1317725984 より 引用 Orz〜

上図のように半径r、高さhの円柱において、底面の円周をn等分、高さをm等分し、側面にπ/nずつ回転して分点を入れ、二等辺三角形でできる内接多面体を考えます。

提灯の形に見えますよね？この三角形の数を無限個にしたら、円柱の側面積である"2πrh"になるだろうか、というのが「Schwarzの提灯」という問題です。

・・・

(i)　m=nのとき

http://latex.codecogs.com/png.latex?\large%20\dpi{100}%20S%20=%20\lim%20_{n%20\rightarrow%20\infty}2\pi%20r%20\frac{\sin%20%28\pi/n%29}{\pi%20/n}\sqrt{h^2%20+%20\frac{\pi%20^4r^2}{4}\biggl%20%28\frac{1}{n}%20\biggl%20%29^2\biggl%20%28\frac{\sin%20%28\pi%20/2n%29}{\pi%20/2n}\biggl%20%29^4}%20=%202\pi%20rh

(ii)　m=n^2のとき

http://latex.codecogs.com/png.latex?\large%20\dpi{100}%20S%20=%20\lim%20_{n%20\rightarrow%20\infty}2\pi%20r%20\frac{\sin%20%28\pi/n%29}{\pi%20/n}\sqrt{h^2%20+\frac{\pi%20^4r^2}{4}\biggl%20%28\frac{\sin%20%28\pi%20/2n%29}{\pi%20/2n}\biggl%20%29^4}=2\pi%20r\sqrt{h^2%20+%20\frac{\pi%20^4r^2}{4}}

(iii)　m=n^3のとき

http://latex.codecogs.com/png.latex?\large%20\dpi{100}%20S%20=%20\lim%20_{n%20\rightarrow%20\infty}2\pi%20r%20\frac{\sin%20%28\pi/n%29}{\pi%20/n}\sqrt{h^2%20+%20\frac{\pi%20^4r^2n^2}{4}\biggl%20%28\frac{\sin%20%28\pi%20/2n%29}{\pi%20/2n}\biggl%20%29^4}%20=%20\infty

とまぁ、mとnの比の取り方によっては2πrになったり無限大になってしまったりと。なんとも不思議なことが起きちゃうわけであります。僕らは答えを知ってるので、側面積"2πrh"になるためには"m=n"という制限をかけて極限を取らなければいけません。・・・

コメ欄から Orz〜

「納得しない人のための微分積分学再入門」、山崎洋平、現代数学社2012

の著者の方からのコメより Orz〜

「曲線の長さ」には定番の定義があり、機能しています。しかしその拡大解釈で「曲面の面積」を規定しようとしたら破綻していた、その例がシュヴァルツ(1843~1921)の提灯です。その解釈を微修正する術は発見後百年以上経つと思われる今も見つかっていません。・・・」

*どっひゃぁ〜〜〜って感じ…^^;

そうなんだ...れいのフラクタルの2次元というか…3次元というかそんなものと考えればいいような…?…気がしたり…^^;…?

画像：http://ja.wikipedia.org/wiki/葛飾北斎 より Orz〜

『冨嶽三十六景』「神奈川沖浪裏」

http://www.tamabi.ac.jp/idd/shiro/cg/kaiga3.htm より 引用 Orz〜

「ダビンチは水流がつくる複雑な形態のスケッチを多数のこしている。とめどなく変化する水の流れる様を静止画面に描写するためには、流体の原理を明らかにする必要がある。

現代のスーパーコンピュータの計算能力で始めて流体のシミュレーションが可能となった。 北斎」

*北斎は...見事にフラクタルを描いてるからこそ波が波に見えるわねぇ☆

[-]

この波の山の白い飛沫の部分は、北斎の観察力の賜物なんでしょうか？
いつも見るたびに、この波の描き方に感心してしまいます☆

観察力もさることながら、動体視力も優れてたのかもしれませんね。

曲面の面積もいずれは定義が考え出されるんでしょうか…？

[スモークマン]

＞詠子さんへ ^^
So do I ☆
動体視力っての？...ボールが止まって見えると言われた野球の神様 川上哲治氏のようね ^^
曲面の面積ってわたしにゃよく分からないけど...極限値が定まるものじゃないと...フラクタル曲線でできる図形の長さも∞になっちゃうのに似てると思えるわたし…?…^^;…Orz〜