ノントーティエント...

http://ja.wikipedia.org/wiki/ノントーシェント より Orz〜

「ノントーティエント（英: nontotient）は、自然数の内、オイラーのトーティエント関数φの値域に含まれない数であり、 φ(x)=n においてどのような自然数xもこの方程式を満たさないような自然数nのことである。言い換えると、全てのxにおいて「x以下の数で互いに素である自然数の個数」（=φ(x)）がn個ではないようなnがノントーティエントである。また、ノントーティエントでないものをトーティエントと呼ぶことがある。

1は φ(x)=1 において x=1,2 という解をもつのでノントーティエントではない。しかし1を除く全ての奇数はノントーティエントである。偶数のノントーティエントは無数に存在し、その内最小の数である14から小さい順に列記すると

14, 26, 34, 38, 50, 62, 68, 74, 76, 86, 90, 94, 98, 114, 118, 122, 124, 134, 142, 146, 152, 154, 158, 170, 174, 182, 186, 188, 194, 202,206, 214, 218, 230, 234, 236, 242, 244, …

ノントーティエントの集合は密度1を持つ。つまり殆ど全ての数はノントーティエントである。しかし、pを素数とすると、p-1はノントーティエントでないから、トーティエントの逆数の和は発散する。

2pがノントーティエントであることと、2p+1が合成数であることは同値である。特に、2pがトーティエントであるとき、pはソフィー・ジェルマン素数である。また、4pがノントーティエントであることと、2p+1,4p+1がともに合成数であることも同値である。

画像：http://toyokeizai.net/articles/-/368?page=3 より 引用 Orz〜

「ソフィ・ジェルマン。数学史上数少ない女性数学者である。彼女は、100以下のすべてのn について、x, y, z のいずれかがn で割り切れる場合についてフェルマーの最終定理が正しいことを証明した。」

http://ja.wikipedia.org/wiki/ソフィー・ジェルマン より Orz〜

「ソフィー・ジェルマンの定理

2p + 1 が素数であるような素数 p について、x^p + y^p = z^p が成り立つとき、x, y, z のいずれかが p で割り切れねばならない。

たとえば x⁵ + y⁵ = z⁵ が成り立つとき、x, y, z のいずれかは 5 の倍数である。また、この定理に現れる 2p + 1 が素数であるような素数 p をソフィ・ジェルマン素数という。」

http://ichigaku-rakukou.net/column/1787/ ;

http://d.hatena.ne.jp/sessendo/20090329/p2 参照

*証明は探してもないみたいね…^^;…

http://ja.wikipedia.org/wiki/ソフィー・ジェルマン素数 より Orz〜

*「ソフィー・ジェルマン素数（Sophie Germain prime）はフランスの数学者ソフィー・ジェルマンによって名付けられた素数で、2p + 1 もまた素数であるような素数 p のことである。それに対し、2p + 1 のほうを安全素数 (safe prime) と呼ぶ。例えば 11 と 2 × 11 + 1 = 23 はともに素数であるので 11 はソフィー・ジェルマン素数、23 は安全素数である。ソフィー・ジェルマン素数は無数に存在するかどうか分かっていない。最も小さいものは 2 である。

ソフィー・ジェルマン素数を 2 から小さい順に列記すると

2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, 113, 131, 173, 179, 191, 233, 239, 251, 281, 293, 359, 419, 431, 443, 491, 509, …

2 と 3 を除くソフィー・ジェルマン素数は 6n - 1 の形の素数である。また 2 と 5 を除くソフィー・ジェルマン素数の一の位は 1, 3, 9 のいずれかである。

2010年現在知られているものの中で最大のソフィー・ジェルマン素数は 183027 × 2²⁶⁵⁴⁴⁰ − 1 であり、79911 桁の数である。

ソフィー・ジェルマン素数 p が p ≡ 3 (mod 4) を満たすとき 2p + 1 はメルセンヌ数 2^p - 1 の約数となる。(*この証明は...http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1482806479 参照 ☆)」

φ(p)=p-1 となるため、p-1で表される数はノントーティエントではない。またφ(p²)=(p-1)p であるため、(p-1)pの形で表される矩形数もノントーティエントではない。さらにp-1で表される異なる数同士の積もノントーティエントにはならない。」

たとえば...

2=φ(3)

4=φ(5)

6=φ(7)

8=φ(3)*φ(5)=φ(15)

10=φ(11)

12=φ(3)*φ(7)=φ(21)

φ(n)=φ(p*q*q*…)=(p-1)(q-1)(r-1)…

なので…2が1個ならnは素数、2が2個なら素数が2個,…k個なら素数がk個…

14=2*7で、14+1=15は素数じゃないのでノントーティエント

16…16+1=17

18…18+1=19

20=2^2*5…(3-1)(11-1)

22…23

24=2*12…(3-1)(13-1)

26=2*13…26+1=27は素数でないのでノントーティエント

ってなことですね ^^