完全トーティエント数...

完全数ってのがあるけど…

トーティエントの値においてもこういうこと考えられてるのねぇ…^^

http://ja.wikipedia.org/wiki/完全トーティエント数 より Orz〜

「完全トーティエント数（perfect totient number）は、自然数のうち、以下の等式を満たす数 n である。

ここで φ はオイラーのトーティエント関数である。例えば 327 は

φ(327) = 216, φ(216) = 72, φ(72) = 24, φ(24) = 8, φ(8) = 4, φ(4) = 2, φ(2) = 1

と 1 になるまで次々とφ関数の値を計算し、それらの総和が 216 + 72 + 24 + 8 + 4 + 2 + 1 = 327 と元の数に等しくなるので完全トーティエント数である。

一般に完全トーティエント数 n は以下の式を満たす。

http://upload.wikimedia.org/math/5/2/2/52296a4ffd502080525160e308f34318.png

完全トーティエント数は無数にあり、そのうち最小の数は3である。完全トーティエント数を小さい順に列記すると

3, 9, 15, 27, 39, 81, 111, 183, 243, 255, 327, 363, 471, 729, 2187, 2199, 3063, 4359, 4375, …

ほとんどの完全トーティエント数は3の倍数であり、3の倍数でない完全トーティエント数のうち最小の数は4375である。特に3の累乗数(3,9,27,81,243,729,2187,…)は全て完全トーティエント数である。これは3の累乗数 3^k が

http://upload.wikimedia.org/math/b/1/e/b1e823ca91732d072fa670ab14a90012.png

を満たすことから証明できる。

Venkataramanは1975年に素数pが p=4×3^k+1 の形で表されるとき、3pが完全トーティエント数になることを発見した。一般に、素数p>3に対して3pが完全トーティエント数であるとき、p≡1(mod 4) である（Mohan,Suryanarayana 1982）。しかし、この形をした3pの全てが完全トーティエント数になる訳ではない。例えばp=17の場合 p≡1(mod 4) を満たし、3p=51 となるが51は完全トーティエント数ではない。」

*確認…^^

φ(3^k)=3^k-3^(k-1)=3^(k-1)*(3-1)=2*3^(k-1)

φ(2*3^(k-1))=φ(3^(k-1))=2*3^(k-2)

…

φ(2*3)=φ(3)=2

合計=2*(3^(k-1)+3^(k-2)+…+1)=(3-1)(3^(k-1)+3^(k-2)+…+1)=3^k=n

*φ(4375)=φ(5^4*7)=(5^4-5^3)*6=5^3*4*6=3000

φ(5^3*2^3*3)=(5^3-5^2)*(2^3-2^2)*2=5^2*2^2*2^2*2=5^2*2^5=800

φ(5^2*2^5)=(5^2-5)*(2^5-2^4)=5*2^2*2^4=5*2^6=320

φ(5*2^6)=4*(2^6-2^5)=2^2*2^5=2^7=128

φ(2^7)=2^6

…

合計=3000+800+320+128+128-1=4375

どうやれば見つけられるんだろうか知らん…^^;…?

また...この値が応用できる問題ってあるのか知らん…^^;…?