8742：立体の展開図のために最小の切開...

問題8742・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/puzzle/ より 引用 Orz〜

ある立体を辺に沿って切り開き、展開図を作ります。例えば図１のような三角錐から図２のような展開図を作るとき、少なくとも３つの辺を切り開く必要があります。

では、次の立体から展開図を作るとき、少なくともいくつの辺を切り開けばよいですか？

（１）立方体

（２）正二十面体（すべての面が等しい大きさの２０個の正三角形で作られた立体）

（３）図３の立体（すべての辺の長さが等しい１２個の正五角形と２０個の正六角形で作られる立体）

(２０１５年 栄東中学校 東大クラス選抜)

解答

・わたしの…

(1)

正四面体のときは...一つの△に残りの△が繋がるので…共有辺は3本だから…残り6-3=3カ所の切断が必要…

同様に...

1個の正方形には4個繋がる…

その繋がった正方形にはもう１個繋がる…

5辺は共有できているので…残り12-5=7カ所は必要ね ^^

(2)

5個集まってるということは…4枚は平面にできると言うこと…

4枚x5個…1枚は違うグループの1枚…

ここからが問題ねぇ…^^;

また考えてみまっす…

 単純に…

上と下を切り開いて、真ん中の円筒を1カ所切開…

これで、11カ所…でできそう？

(3)

すぐにゃわからん…^^;

・鍵コメY様のエレガントな解法☆

立方体の場合、全部の面をバラバラにすると、辺の数は 4×6＝24 になり、
２つずつくっつけるので、辺の数は 24÷2＝12 です。
展開図でくっついているのは 面の数より１少ない 5 だから、
くっつけない(切り開く)のは 12−5＝7 ですね。
同様に、正二十面体の場合は 3×20÷2−(20−1)＝11 です。
サッカーボールはご自分で。

*そっかAha!! でしたわ...お気に入り♪

サッカーボールのときは…

(12*5+20*6)/2=90本の辺

面の数=12+20=32

くっついてる辺=32-1=31

so...切開が必要な辺の数=90-31=59本

ってわけねぇ☆

こういう原理無くしては頭が狂いそうになってしまう問題ですね ^^;

[スモークマン]

＞10:48pmの鍵コメY様へ ^^
おおっ!!
オイラーの定理みたいな発想ねぇ☆
いわれてみるとたしかにそうですね ^^♪
紹介させていただきまっす〜m(_ _)m〜v