奇数の完全数はない？...覚え書き ^^;

緑色の波長を見てるんじゃなくって...

補色としての色(いわば、虚色)として緑だと脳が見せてる色なのよね？

奇数の完全数Nとは…

Nの約数のそれ自身以外の和=2Nになるもの…

2が出るということは…

(*以下訂正 ^^;)

奇数ーN(奇数)＝偶数だから…

奇素数^(偶数)の積でなければならない…

p^(2m)

1+p+p^2+…+p^(2m)で奇数が偶数個で奇数になれるから…

全ての約数の和=3N(奇数)と同値…よね？

で...範囲を広げて過剰数の整数列大辞典で見ると…

http://oeis.org/A005101

Abundant numbers (sum of divisors of n exceeds 2n). 

12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 102, 104, 108, 112, 114, 120, 126, 132, 138, 140, 144, 150, 156, 160, 162, 168, 174, 176, 180, 186, 192, 196, 198, 200, 204, 208, 210, 216, 220, 222, 224, 228, 234, 240, 246, 252, 258, 260, 264, 270

奇数は載ってないわねぇ…^^;

と思ったら…

http://ja.googology.wikia.com/wiki/過剰数 より Orz〜

「ここで、ほとんどの過剰数は偶数となるように見える。最初の奇数の過剰数は 945 である。これは、自然に出現する大きな数として面白い。945 の後は、奇数の過剰数 (odd abundant number) は 1575, 2205, 2835, 3465, ... と続く。

さらに、その数を除く正の約数の和が元の数の2倍以上に大きい数があり、そのような数は 180 が最小で、次は 1018976683725 である。

▪  2と3で割り切れない最小の過剰数は 5391411025 = 5
2
∗7∗11∗13∗17∗19∗23∗29
である。

▪  正の約数の和が元の数の4倍以上となる最小の奇数は20821017304425168561312837502762890375 = 3^5 x 5^3 x 7^2 x 11^2 x 13 x 17 x 19x 23 x 29 x 31 x 37 x 41 x 43 x 47 x 53 x 59 x 61 x 67 x 71 x 73 x 79 x 83 である。

▪  正の約数の和が元の数の3倍以上となり、2と3で割れない最小の数は48870871124826570463953805139878697155358000962012333290725030523875 = 5³ x 7³ x 11² x 13² x 17² x 19² x 23² x 29 x 31 x 37 x 41 x 43 x 47 x 53 x 59 x61 x 67 x 71 x 73 x 79 x 83 x 89 x 97 x 101 x 103 x 107 x 109 x 113 x 127 x 131x 137 x 139 x 149 x 151 である。

11以下の数で割り切れない最小の過剰数は7970466327524571538225709545434506255970026969710012787303278390616918473506860039424701= 13^2 x 17^2 x 19 x 23 x 29 x 31 x 37 x 41 x 43 x 47 x 53 x 59 x 61 x 67 x 71x 73 x 79 x 83 x 89 x 97 x 101 x 103 x 107 x 109 x 113 x 127 x 131 x 137 x 139x 149 x 151 x 157 x 163 x 167 x 173 x 179 x 181 x 191 x 193 x 197 x 199 x 211 x223 x 227 である。」

http://oeis.org/A005231

A005231

Odd abundant numbers (odd numbers n whose sum of divisors exceeds 2n).

25

945, 1575, 2205, 2835, 3465, 4095, 4725, 5355, 5775, 5985, 6435, 6615, 6825, 7245, 7425, 7875, 8085, 8415, 8505, 8925, 9135, 9555, 9765, 10395, 11025, 11655, 12285, 12705, 12915, 13545, 14175, 14805, 15015, 15435, 16065, 16695, 17325, 17955

ってのもあるのねぇ ^^;

945=3^3*5*7

(1+3+3^2+3^3)(1+5)(1+7)=1920

1920-945=975

整数倍ってわけではないのね？

945/3=315

3^2*5*7

は、奇数乗が2個あるから駄目ね…

じっさいに…

13*6*8-315=624-315=309

1575/3=525

525=3*5^2*7

2205/3=735

735=3*5*7^2

んじゃ…

3*5^2*7^2=3675 は...上の過剰数になってないから無理なんだけど…

もし、過剰数3Nになってたとしたら…

3675/3=5^2*7^2=1225

(1+5+5^2)(1+7+7^2)=1767

1767-1225=443・・・でたしかに駄目ね…^^;

つまり…

奇数の完全数があるとすると...

約数の全ての和＝3N

Nには3^偶数があってもなくても…

3以外の奇素数pの約数の和が3*奇数となっているはず…

1+p+p^2+p^3+…+p^(2m)=3*(2k-1)

6k-4=p(1+p+p^2+…+p^(2m-1))

2*(3k-2)=p(1+p+p^2+…+p^(2m-1))

pは奇素数のはずだから…矛盾

ってのはどう？…^^;v

ま、どこかおかしい論理になってるんでしょうけど…^^;

*1+p+p^2+…+p^(2m-1)=偶数　だから…

3k-2 が素因数pを持つことしか言えませんですたぁ…^^;