ライプニッツの公式...

既出ですが...求め方が載ってたもので…^^

http://www7b.biglobe.ne.jp/~ykoba/kyuusuu.html より 引用 Orz〜

「　1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+・・・・＝Σ_n=1〜∞ (-1)^n-1/(2n-1)＝π/4 　（式１） 

これは、1673年にライプニッツが発見した公式ですが、実際には、1400年ころ、マーダヴァ（インドの数学者）により、最初に 発見されています。

画像：http://www.famous-mathematicians.com/madhava/ より Orz〜

この（式１）は、次のようにして導くことが出来ます。
まず、tanθ＝x とおくと、三角関数の公式などから、dθ/dx＝1/(1+x²)＝1-x²+x⁴-x⁶+x⁸-・・・・・ となります。そして、この式の両辺を x について不定積分すると、
θ＝x-x³/3+x⁵/5-x⁷/7+x⁹/9-・・・・・と言う式になります。θ＝π/4 の時、x＝tan(π/4)＝1 なので、 θ＝π/4、x＝1 をこの式に代入すると、（式１）が得られます。 」

(tanθ)'=(sinθ*(cosθ)^(-1))'

           =1+(sinθ)^2/(cosθ)^2

           =(1/(cosθ)^2)*dθ=dx

dθ/dx=(cosθ)^2

(tanθ)^2=(1-(cosθ)^2)/(cosθ)^2=x^2=1/(cosθ)^2-1

so…

dθ/dx=1/(1+x^2)

コンレを実際に割り算すれば…

1/(1+x^2)=1-x^2+x^4-x^6+… になりますわねぇ ^^;...

この不定積分...

θ=x-x^3/3+x^5/5-…

x=1のとき、tanθ=1・・・θ=π/4

狐か狸に化かされた様な解法ねぇ…^^;…

無限級数に展開できる式を導いて、xが特殊な値を取るときのθでπが出てくるものがあれば有用ね♪

上の式で…θ=π/6=(1/2)-(1/3)*(1/2)^3+(1/5)*(1/2)^5-(1/7)*(1/2)^7+…

一方、(π/6)=(π/4)*(2/3)=(2/3)*(1-1/3+1/5-1/7+…)

となるはずだけど…

2つが一致するような変形が存在するってことなのよね？

わたしにゃわかりませんけど…^^;…Orz…

また、

も一度不定積分してみると…

θ^2/2=x^2/2-x^4/12+x^6/30-x^8/56+…

θ=π/4…

π^2/32=1/2-1/12+1/30-1/56+…

π^2/6=(16/3)*(1/2-1/12+1/30-1/56+…)=1+1/2^2+1/3^2+1/4^2+…

になることもわからない...一意には表せないみたいねぇ…?

上のサイトの続きです…Orz〜

「1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+・・・・＝Σ_n=1〜∞ 1/p_n 　　　　（式１１） 

ここで、p_nは、n番目の素数を示します。また、この級数は、調和級数と同様に、∞に発散します。


７つ目は、フィボナッチ数の逆数の無限和で、reciprocal Fibonacci constant　ψ（＝3.35988566・・・）に収束する級数です。

　1/1+1/1+1/2+1/3+1/5+1/8+1/13+・・・・＝Σ_n=1〜∞ 1/F_n＝ψ 　（式１２） 

ここで、F_nは、n番目のフィボナッチ数を示します。また、reciprocal Fibonacci constant　ψは、無理数であることが 証明済み（1989年）ですが、超越数かどうかは分っていません。」

*素数の逆数の和が発散することの証明がよくわかってないまま…Orz…

これで、素数は無限個あることが言えるわけです!!

but…収束するときは、有限個か無限個かは決定できないのねぇ…

裏は必ずしも真ならず…^^

https://ja.wikipedia.org/wiki/対偶_(論理学) より Orz〜

「命題「AならばB」に対し、

・対偶：「BでないならAでない」

・逆：「BならばA」

・裏：「AでないならBでない」

対偶の場合とは異なり、元の命題「AならばB」が正しくとも逆・裏は必ずしも正しいとは限らない（逆は必ずしも真ならず）。 しかし逆命題「BならばA」の対偶は、「AならばB」の裏「AでないならBでない」と一致するので、逆「BならばA」と裏「AでないならBでない」の真偽は必ず一致する。　」