9816：下二桁に99を持つフィボナッチ数...

問題9816・・・http://d.hatena.ne.jp/Sugaku+Simple-Short-Problems/20150305

より 引用 Orz〜

フィボナッチ数 1, 1, 2, 3, …のうち，
下２桁が９９の項は存在するか？
また，下８桁に９が並ぶことはありえるか？

解答

・わたしの…

というか、以下のサイトの事実から99を持つものの存在を調べてみました…^^;v

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1249219882 より 引用 Orz〜

「下2桁をmod4で考えれば

01,01,02,03,01,00,・・・
の周期6となります．
同様にmod25で考えれば
01,01,02,03,05,08,13,21,09,05,14,19,08,02,10,12,22,09,06,15,21,11,07,18,00,
18,18・・・
と続きます．18^2≡-1(mod25)ですので，51番目からが24,24,・・・と続き，101番目からが01,01・・・と続きますので周期が100となります．
ですからフィボナッチ数列をmod100で見た，下2桁の循環は6と100の最小公倍数である300で循環します．

k≧3であれば，下k桁の周期は1.5×10^kになります．」

つまり...

99/4=24…3

so…6m+4

51,52ー151,152ー251,252

52/6=8…4

152/6=25…2

252/6=42…0

あるとすると、52番目

じっさいに、

http://www.suguru.jp/Fibonacci/Fib100.html (参照Orz〜)の

『１００番目までのフィボナッチ数列』の表から、

F(52)=32951280099　♪

but...下8桁に9が並ぶ数があるかどうかは...俄にわからない…^^;

・鍵コメT様からのもの Orz〜

下8桁がすべて9となることはあります．
ポイントは，
・フィボナッチ数列の各項をある自然数で割った余りは循環すること
・すると，十分先の方に，下8桁が00000001である2項が連続すること
にあり，00000001が2つ続く項からさかのぼっていけば，
99999999がすぐ前に見つかることになります．

*01,01が周期的に出現することがわかっており、どんな数でも周期的に余りが出現する(この証明は措いておいて ^^;)ことから上のことは言えますね☆

but...すべての数が現れることがすぐ言えないのは、

たとえば、下二桁が300周期でも00〜99の100個…100*99=9900の周期ならあらゆる数がでて来るけど300では…16*17=272, 17*18=306 だから…100個出現しなくても周期にできそうだからなのよねぇ…?...

[スモークマン]

＞5:06pmの鍵コメT様へ ^^
どんな数で割っても00…00になるので、
その次は、00…01が2個続き、その前は、00…00だから、
その前は、00…01で、その前が99…99になってないといけないということなのねぇ ^^;☆
紹介させていただきまっす〜m(_ _)m〜v