"平方剰余だったら原始根でない"…がわかった☆…^^;v

https://ja.wikipedia.org/wiki/ウィルソンの定理 より Orz〜

「ウィルソンの定理

p が素数ならば (p-1)! ≡ -1 (mod p) が成り立つ。p>1の場合、逆も成り立つ。

証明

p = 2 の場合は成り立つので、以下pは奇素数とする。pは素数だから法pに関する原始根aが存在する。このとき、フェルマーの小定理より、

aは原始根だから、a¹, a², … ,a^p-1(≡1)はそれぞれpを法として還元すると、1, 2, … ,p-1の並べ替えである。よって、

となる。一方、

が成り立つ。b=a^p(p-1)/2とおくと、b² ≡ 1 (mod p) だからb ≡ ±1 (mod p) である。示したいのはb ≡ -1 (mod p) なのでb ≡ 1 (mod p) と仮定して矛盾を導く。aは原始根だから、フェルマーの小定理より、p(p-1)/2はp-1で割り切れる。ゆえにp/2は整数となるが、これはpが奇数であることに反する。Q.E.D.」

aを原始根に限定する理由がよくわからなかったんだけど…原始根でないときは…p-1以下で循環してしまうから、1〜(p-1) のすべての剰余が現れないからなのね ^^

http://unnikki.web.fc2.com/numbers/abcdefg2.html より 引用 Orz〜

「原始根の一覧

pを素数として、法 pのもとで(p-1)乗してはじめて1になる数を原始根といいます。

たとえば法11のもとで2は10乗しないと1にならないので(2¹⁰=1024=11×93+1)2は法11のもとでの原始根です。しかし法7のもとでは、2³=7+1と、2^7-1より小さいべき乗で1となってしまうので、2は法7のもとで原始根ではありません。法が pのとき原始根は（1,2,..., pのなかに）  φ( φ( p)) =  φ( p-1) 個存在します。

*たとえば...

φ(6)=φ(2)*φ(3)=(2-1)*(3-1)=2

φ(12)=φ(2^2)*φ(3)=(2^2-2)*(3-1)=4

平方剰余の理論より、「 p≡±1 mod 8」⇔「2は法 pのもとで平方剰余である」⇒「2は法pのもとで原始根でない」ことがいえます。」

画像：https://ja.wikipedia.org/wiki/アドリアン＝マリ・ルジャンドル より Orz〜

↑

ルジャンドルとは別人の肖像画でしたのねぇ ^^;

「2005年までに凡そ2世紀もの間、ルジャンドルの肖像画はフランスの政治家であるルイ・ルジャンドルの肖像画と間違われていた。 単純にルイ・ルジャンドルの肖像画に"ルジャンドル"と書かれてあったものを政治家のルジャンドルではなく数学者のルジャンドルであると判断してしまったのが誤りの原因とされている。」

↓

こっちも本物かどうかなんてどうしてわかったんだろ…^^;…?

*x^2-2≡0　mod p を満たすxがあるとき、2は法 pの平方剰余と呼ばれる。

平方剰余の第2補充法則:

左辺(m /p )はルジャンドル記号で、

mが平方剰余のとき1, そうでないとき-1、割り切れるとき 0

の右辺=1

つまり、2は 法 p (p≡±1　mod 8)　の平方剰余…

まではわかるんだけど…

「2は法 pのもとで原始根でない」に今のわたしには結びつけられない…^^;…?

!! 解☆↓☆決 !!

・鍵コメT様からのもの Orz〜

2≡a^2 (mod p)であれば，a^(p-1)≡1 (mod p)から2^((p-1)/2)≡1 (mod p).
これより，2は原始根ではありません．

*おおっ!! ☆ 

お陰さまで了解できましたぁ♪ 〜m(_ _)m〜v

[スモークマン]

＞5:14pmの鍵コメT様へ ^^
グラッチェ〜♪
相加相乗☆
気付けないわたしゃ盲点だらけダッフンダァ…^^;;
紹介させていただきまっす〜m(_ _)m〜v