循環小数の性質…☆...平方剰余の相互法則とルジャンドル記号の威力…☆

平方剰余の相互法則とルジャンドル記号の具体的な使い方を...

以下のサイトからお勉強 Orz〜^^☆

http://tsujimotter.hatenablog.com/entry/2014/04/08/212954 より 引用 Orz〜

「《定理１》

p を2, 5 以外の素数としたとき、循環小数 1/p は (p-1) 桁で循環する。また、その循環節の長さは(p-1) の約数となる。」

これは、1/p=m(循環節e)/99…99(e個の9)

10^e-1=p*m

10^(p-1)≡1　mod p (pは10と互いに素) なので、

循環節e=p-1 or p-1の約数である可能性までは言えますね…^^

http://tsujimotter.hatenablog.com/entry/2014/04/08/213119 より 引用 Orz〜

ここからが面白い☆

ですね ^^

これは…

なるほど!!

ここから、平方剰余の相互法則と言われる以下の法則を駆使していくわけね…

画像：http://sci-fi.blog.jp/archives/16383256.html より 引用 Orz〜

https://ja.wikipedia.org/wiki/平方剰余の相互法則 より Orz〜

「この法則は、レオンハルト・オイラーによって予想され、カール・フリードリッヒ・ガウスによって証明された（ガウス日誌によれば、1796年4月8日。発表されたのは1801年の『整数論』において）。ガウスはこの法則に対して生涯で7つの異なる証明を与えた。その一つの動機は、三次や四次の相互法則を証明することにあった。現在では200近くもの証明が知られている。しかし、どれもそれほど簡単ではない。三次や四次の相互法則は、ヤコビ、アイゼンシュタインによって独立に証明された（1844年にアイゼンシュタインが証明を公表）。より高次のまた一般的な代数的整数における一般的な相互法則の証明は（ヒルベルトの第9問題）、高木貞治やエミール・アルティン（ドイツ語版、英語版）によってなされた。（アルティン相互法則を参照）」

*p は mod 8 で、1,3,5,7だから…^^

*Pは　mod 5 で、1,2,3,4 で…

x^2-p≡0　mod p

を満たすxがあるとき、(p/5)=1

だから…^^

*8m±1=5n±1

8m+1=5n+1・・・40k+1

8m+1=5n-1・・・40k+9

8m-1=5n+1・・・40k+31

8m-1=5n-1・・・40k-1

*8m±3=5n±2

8m+3=5n+2・・・40k+27

8m+3=5n-2・・・40k+3

8m-3=5n+2・・・40k-3

8m-3=5n-2・・・40k+13

ね ^^

*これすなわち、p を40で割った余りが1,3,9,13,27,31,37,39 のいずれかのものは、10を原始根として持たない…逆に、(5),7,11,(15),17,19,21,23,(25),29,33,(35) のものは、10を原始根として持つといえるわけね ^^

当然、2,5は10を原始根として持たない…

*but…

7,11が10を原始根として持たない理由が説明できないなぁ…^^;…?

p-1>10のときだけのよう…?

↓

http://www.freeml.com/bl/8882569/79856/ より 引用 Orz〜

「

p = 2 ; 1

p = 3 ; 2
p = 5 ; 2 3
p = 7 ; 3 5
p = 11 ; 2 6 7 8
p = 13 ; 2 6 7 11
p = 17 ; 3 5 6 7 10 11 12 14
p = 19 ; 2 3 10 13 14 15
p = 23 ; 5 7 10 11 14 15 17 19 20 21
p = 29 ; 2 3 8 10 11 14 15 18 19 21 26 27
p = 31 ; 3 11 12 13 17 21 22 24
p = 37 ; 2 5 13 15 17 18 19 20 22 24 32 35
p = 41 ; 6 7 11 12 13 15 17 19 22 24 26 28 29 30 34 35
p = 43 ; 3 5 12 18 19 20 26 28 29 30 33 34
p = 47 ; 5 10 11 13 15 19 20 22 23 26 29 30 31 33 35 38 39 40 41 43 44 45
p = 53 ; 2 3 5 8 12 14 18 19 20 21 22 26 27 31 32 33 34 35 39 41 45 48 50 51
p = 59 ; 2 6 8 10 11 13 14 18 23 24 30 31 32 33 34 37 38 39 40 42 43 44 47 50 52 54 55 56
p = 61 ; 2 6 7 10 17 18 26 30 31 35 43 44 51 54 55 59
p = 67 ; 2 7 11 12 13 18 20 28 31 32 34 41 44 46 48 50 51 57 61 63
p = 71 ; 7 11 13 21 22 28 31 33 35 42 44 47 52 53 55 56 59 61 62 63 65 67 68 69
p = 73 ; 5 11 13 14 15 20 26 28 29 31 33 34 39 40 42 44 45 47 53 58 59 60 62 68
p = 79 ; 3 6 7 28 29 30 34 35 37 39 43 47 48 53 54 59 60 63 66 68 70 74 75 77
p = 83 ; 2 5 6 8 13 14 15 18 19 20 22 24 32 34 35 39 42 43 45 46 47 50 52 53 54 55 56 57 58 60 62 66 67 71 72 73 74 76 79 80
p = 89 ; 3 6 7 13 14 15 19 23 24 26 27 28 29 30 31 33 35 38 41 43 46 48 51 54 56 58 59 60 61 62 63 65 66 70 74 75 76 82 83 86
p = 97 ; 5 7 10 13 14 15 17 21 23 26 29 37 38 39 40 41 56 57 58 59 60 68 71 74 76 80 82 83 84 87 90 92　」

*原始根がちょっぴり身近になったような気がする…^^