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画像：http://merubeiyumori.blog67.fc2.com/blog-entry-1471.html より 引用 Orz〜
「ｋ＝√（ｍ＋√（ｍ＋√（ｍ＋√（ｍ＋・・・））））
の場合は，２次方程式の解の公式を使えば，ｍ＝ｋ^2−ｋとすることができる
(*k^2=m+k なら…k=√(m+k)=√(m+√(m+…))) って表せるわけねぇ ^^)
√（２＋√（２＋√（２＋√（２＋・・・））））＝２
√（３０＋√（３０＋√（３０＋√（３０＋・・・））））＝６
今回のコラムでは
√（２＋√（２＋√（２＋√（２＋・・・））））＝２
の別証を与えてみたい．
【１】別証
倍角の公式
ｃｏｓ(２α)＝２ｃｏｓ^2(α)−１
は
２ｃｏｓ(α)＝√（２＋２ｃｏｓ(２α)）
と書き換えることができる．
たとえば，α＝π／３２とおくと
２ｃｏｓ(π／３２)＝√（２＋２ｃｏｓ(π／１６)）
＝√（２＋√（２＋２ｃｏｓ(π／８)））
＝√（２＋√（２＋√（２＋２ｃｏｓ(π／４)）））
＝√（２＋√（２＋√（２＋√２）））
α＝π／２^n として，ｎ→∞とすると，
√（２＋√（２＋√（２＋√（２＋・・・））））＝２
が得られる．」
この√2 の入れ子は…cosの倍角の公式に絡んでましたのね☆
「◆√2に関する式
『数学の魔術師たち』（木村俊一著）を読んでいて、次の式を知った。インドの魔術師こと、ラマヌジャンによるものである。
（式１）
これはきれいだ。『本格折り紙√2』でも紹介したかった。
で、バリエーションはあるのだろうか、と考えた。この式は、符号が- + + - + +というパターンだが、当然思いつくのは、- + - +という単純な繰り返しである。すると、これもきれいな結果だった（φは黄金比）。
（式2） しかし、この式2は当然既知、というか、ラマヌジャンもこれがあって式1を発想したのだろう。なお、この式の符号を反転させ、+ - + -にすると、次のように、黄金比になる。
（式3）
1と平方根の繰り返しで、黄金比が出てくること（式4）は知っていたが、2の+ -でも同じになるのであった。黄金比は、φ^2=1+φという性質があるので、当たり前といえば、当たり前なのだけれど、これも面白い。
（式4）
さらに、2で符号を全部+にすると、結果は以下である。これもちょっと不思議だ。
(式5）
そして、符号を全部 - にすると、値は1である。
これらの式の検算で、2sin(54°）=√（2+2sin(18°))を確かめようとして、間違えて別の計算をしてしまい、次のちょっと変な式も発見した。63°という値はなんか珍しい。直角の7/10である。
（式6）」
x^2=1+x
x^2-x=(x-1/2)^2-1/4=1
x=(√5+1)/2=φ
φ^2=1+φ
式(3)
x^2=2+√(2-x)
(x^2-2)^2=2-x
x^4-4x^2+x+2=0
x^2(x+2)(x-2)+(x+2)=0
x>0
x^2(x-2)+1=0
x^3-2x^2+1=(x-1)(x^2-x-1)=0
x=1は満たさないので…
x=φ
式(2)
√(2-φ)=φ-1 だとすると...
2-φ=φ^2-2φ+1
φ^2=φ+1 となることはわかるも、φ-1になることはどうやって求まるんだろうか知らん？
また...
2sin(54°）=√（2+2sin(18°))
２sin(63°)=√(2+2sin(36°))
も...
上の…
『倍角の公式
ｃｏｓ(２α)＝２ｃｏｓ^2(α)−１
が、
２ｃｏｓ(α)＝√（２＋２ｃｏｓ(２α)）
と書き換えることができる．』
から…
2sin(54°)=2cos(36°)
√(2+2sin(18°))=√(2+2cos(72°))
また、
2sin(63°)=2cos(27°)
√(2+2sin(36°))=√(2;2cos(54°))
から明らかですね ^^
式(1)は...どないして求めるんでっしゃろ？... |
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