フェルマーの二平方定理...

フェルマーの二平方定理の証明…

https://ja.wikipedia.org/wiki/二個の平方数の和より Orz～

「フェルマーの4n+1定理、フェルマーの二平方定理、あるいは単にフェルマーの定理（フェルマーの最終定理とは異なる）などと呼ばれる。

4を法として1に合同な素数は二個の平方数の和で表される。合成数が高々二個の平方数の和で表されるための必要十分条件は、4を法として3に合同な素因数が全て平方（冪指数が偶数）になっていることである。この定理は、フェルマーによって提起され、オイラーによって解決された。

一文証明

ザギエ（Zagier）による一文証明（one-sentence proof）は、一文で完結することもさりながら、平方剰余に関する知識を要求しないということも特筆に値する。

有限集合

S=\{(x,y,z)\in\mathbb{N}^3|x^2+4yz=4n+1\}

上の対合

(x,y,z)\mapsto\begin{cases}(x+2z,z,y-x-z),&\mbox{if}\;x<y-z\\(2y-x,y,x-y+z),&\mbox{if}\;y-z<x<2y\\(x-2y,x-y+z,y),&\mbox{if}\;2y<x\end{cases}

は必ず一個の不動点を持つから、集合

S

の元の個数は奇数であり、対合

(x,y,z)\mapsto(x,z,y)

も不動点を持つ。

対合とは

\forall{a}\in{S},\varphi(\varphi(a))=a

となる写像

\varphi

のことである。不動点とは

\varphi(e)=e

となる元

e

のことであり、必ず一個の不動点を持つというのは

(1,1,n)\in{S}

を意味している。

4n+1

が素数であることを仮定して、一文証明が主張する対合が実際に対合であること、そして

(1,1,n)

の他に不動点が存在しないことの確認は読者に任せる。唯一の不動点を除き集合

S

の元は対合によって対になるから、元の個数は奇数である。従って、対合

(x,y,z)\mapsto(x,z,y)

によって対にならない元が存在する。これは

y=z

を意味し、ひいては

x^2+(2y)^2=p

を意味する。」

*どうしてこのように場合わけしなきゃいけないのか、唯一の不動点が存在することが言えるのか...肝腎なところはまったく理解できないわたしですが…^^;

後半は理解できましたぁ^^☆

one-sentence proof　ってのがかっこいいですね ♪

画像：http://pmi.postech.ac.kr/introduction/photos/ より引用 Orz～

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/mathbun/mathbun518.html より引用 Orz～

「ＧＡＩ氏

フェルマーは自ら証明は与えなかったが、1640年、4を法として1に合同な素数pが２個の平方和で表される（x²+y²=p (≡1 mod 4）　x、y∈N）という記述を残す。これに対する証明は、その後1749年（100年以上経過している。）Eulerが５段階に分けて初めて完成させた。

その後1775年、Lagrangeが二次形式を用いて証明、さらにDedekindがガウス整数を利用することでKummerなどの成果を利用し２通りの証明を与える（1894年）など、歴史に残る錚々たるメンバーが関わってきた。
そして、20世紀（1990年）、Don　Zagier（ドン・ザギエ）が　A One-Sentence Proof という題であっけなく証明した。」

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アットランダム≒ブリコラージュ

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