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画像：http://d.hatena.ne.jp/Hyperion64/20111101/1320149139 より 引用 Orz〜
「ｎ＝１００（原点まわりの２００×２００の格子点）の図示であります。
黄色が原点からの距離が１００以下の格子点で「31397」個ある。
赤点は丁度距離が１００となる点で「20」個ある。
これとはまた違う気がするけど似てますよね ^^…?「［１］フェルマー・オイラーの定理（２平方和定理）
特別な素数である２を除外して，素数は４で割ると余りが１になるもの（５，１３，１７，２９，３７，４１，・・・）と３になるもの（３，７，１１，１９，２３，３１，・・・）の２種類に分けられます．
このうち，４ｎ＋１の形の素数は２つの整数の平方の和として表されます．たとえば，５＝１^2＋２^2，１３＝２^2＋３^2，１７＝１^2＋４^2，２９＝２^2＋５^2
幾何学的な解釈を与えると半径√ｐの円上には８個の格子点が存在するのです．しかし，４ｎ＋３の形の素数は１つもこのようには表せないのです．この定理はフェルマーの定理と呼ばれ，フェルマーは無限降下法でこれを証明しましたが，その証明は不十分で，１００年後のオイラーによって完全な証明がなされています．
それでは，どのような自然数ｍが２つの平方数の和の形に書くことができるのでしょうか？ ２つの平方数の和になる数ｍ＝４ｎ＋３はありません．ｍの素因数分解におけるｐ＝４ｎ＋３の形のすべての素因数の指数が偶数であるときに限り，２つの平方数の和の形に表すことができるのです．
・・・
ｎ＝ｘ^2＋ｙ^2
和の順序や整数の正負も区別すると，２は２つの平方数の和で４通りに表せる．
２＝（±１）^2＋（±１）^2
しかし，３は２つの平方数の和では表せない数である．５は
５＝（±２）^2＋（±１）^2
５＝（±１）^2＋（±２）^2
と書けるから８通りに表せる．そこで
［Ｑ］正の整数ｎを２つの平方数の和で表す方法は，平均して何通りあるか？
［Ａ］たとえば，１，２，・・・，１０の表し方の個数はそれぞれ，４，４，０，４，８，０，０，４，４，８だから，平均は３．６である．１２８までのとき，平均は３．１５６２５となるそうだ．平均してπ通りあるのだが，共通点がなにもないようなこんな意外なところになぜπが出てくるのだろうか？」
で、その証明を考えていたんだけど、風呂で閃いて書こうと思い、その前に調べてみると何とすでになされてましたのねぇ ^^;v
わたしが思ったのは、自然数nとして半径√n とするとその格子点を通る円の面積はPickの定理を使ったとき、その中の格子点の個数に近似するわけです♪ so…
半径√nまでの格子点の和=n*π
so…
π=(半径√nまでの格子点の和)/n
となりますね ^^
この発想はわたしのオリジナルなんかじゃなくって...以下のサイトにも紹介されてますけど…
とっくに同じ発想で証明されてる/気付かれてたわけねぇ ^^;☆
↓
but...わたしはその上をといってもアナロジーですけど…^^;
半径√n 格子点の数=(4/3)πn^3
から…
3(半径√n 格子点の数)/(4n^2)=π
(このときは…3平方和で表せるときの格子点の個数になるわけだけど…)
になるんじゃないかと思ったけど…
なんと…3次元版のPickの定理ってのは存在しないのねぇ…^^;;
「ピックの定理を一般化して，３次元格子上に頂点をもつ多面体の体積公式を作ることができるだろうか？ 実は，３次元の任意の格子多面体に対しては内部や境界面上の点の個数から体積を求める式はないことが証明されている（リーブ，１９５７）」
も面白そう…but…難ぃ ^^;
しつこく…^^
球の表面上ではPickの定理は使えないんだろうか知らん？
探しても見つからないけど…?
あれば…3次元版のものができそうだから無いんだべなぁ…^^
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