隣り合う素数同士の間隔...

わたしがときどきお邪魔させて頂いているサイトから ^^♪

完全無欠で荒唐無稽な夢 http://d.hatena.ne.jp/Hyperion64/20151228/p1#c より 引用 Orz〜

「素数の間隔の最大値を追っかける

「xが10000までの結果です。「34」がずいぶんと素数間隔の最大値を維持するのであります。」

で…

数xまでの素数の個数を表す近似値式 x/log(x) を使って、
(x+34)*log(e)/log(x+34)-x*log(e)/log(x)=1, 1000<x<10000　を計算させたたら…

『no solutions』…になっちゃうのはなぜなんでっしゃろ…^^;…?

・鍵コメT様からその理由を頂戴しました☆

対数は自然対数として，(x+34)/log(x+34)-x/log(x)=1のとき，
f(x)=x/log(x)に対して，f'(x)≒1/34となるはずです．
f'(x)=1/log(x)-1/(log(x))^2)であり，
f'(x)=1/34のとき，1/log(x)は
1/34より少し大きく，1/33よりは小さい値となります．
log(x)=33となるxはe^33であり，15桁の値となるので，
1000<x<10000の範囲には解はありません．
(間隔が平均して34程度になるのは，間隔がはじめて34となる値よりは
ずっと大きいことは予想できますね．) 

*わたしの方法では平均値を比べてるに過ぎませんでしたのね…^^;;

ちなみに…

ガウスの素数定理の導き方が以下のサイトにわかりやすく述べられています☆

http://tsujimotter.hatenablog.com/entry/2014/04/08/120132 より 引用 Orz〜

↓

*見事な流れですね♪

ちなみに…

これをもっと精緻に考えたのがリーマンさんで…

http://tsujimotter.hatenablog.com/entry/2014/06/29/002109 より 引用 Orz〜

「右辺の第一項 

R(x)  は、《リーマンの関数》という名前がついています。この項は、「主要項」とも呼ばれ、《リーマンの素数公式》 の中核を担っています。・・・

*このリーマン函数R(x)だけでも…

以下のように近似度が頗るよくなってますのね☆

ガウスの素数定理の式のものが以下のグラフ…

その精度の表です…

http://gascon.cocolog-nifty.com/blog/2009/11/post-f915.html より 引用 Orz〜

nが大きくなるほどリーマン函数の方が近づいて行ってますね☆

でも…そもそもの基本は調和数列の和の精緻化なんでしょうね ^^

[スモークマン]

＞8:45pmの鍵コメT様へ ^^
そうかそうか!!
そもそもが、素数定理はxまでの平均値なのでしたのね ^^;

リーマンさんの精緻な式を使えば…それと素数pがわかれば...その次の素数も見つけられるんでしょうか知らん ^^;…? Orz〜