10501：約数のうち mod 4=2でないものの和=1000...

息子が高速の途中で雪のため下道で３時間かかったけど無事戻れた模様…^^;

岡山南部は大したことないんだけど…Orz

問題10501(友人問)

正の整数であって、その正の約数のうち4で割った余りが

2でないようなものの総和が1000であるものをすべて求めよ。 

解答

・わたしのいい加減なもの…Orz…

x+4x=1000

x=200

200=1+199

x+4x+4mx=1000

x=4, 8, 32,

4=1+3・・・250…なし

8=1+7・・・125…5,25,125...なし

32=1+31・・・なし

奇素数同士の積で…2^3*5^3

も上の関係からない...

じっさいに…

2^2*199・・・(1+2^2)(1+199)

これだけかいなぁ…

よくわからず…^^;

↑

やはり抜けてましたあ ^^; Orz…

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

結構難しかったです．回り道をしているかもしれませんが．．．

以下，「整数」，「約数」などは注釈なしで正に限定する．
整数nを2で割れるだけ割って得られる奇数をmとして，
1000=(mの約数の和)*A と表され，
Aは1,1+4,1+4+8,1+4+8+16,1+4+8+16+32,…のいずれか．
Aの候補のうち，1000の約数は，
1,1+4=5,1+4+8+16+32+64=125.
A=125のとき，奇数mの約数の和が8であり，m=7.
A=5のとき，奇数mの約数の和が200．
A=1のとき，奇数mの約数の和が1000. 

奇素数pに対し，p^aの約数の和は1+p+…+p^a.
a≧2に対するこの値は，
1+3+9=13,1+3+9+27=40,1+3+9+27+81=121,1+3+9+…+243=364,1+3+…+729>1000,
1+5+25=31,1+5+25+125=156,1+5+25+125+625=781,1+5+25+125+625+3125>1000,
1+7+49=57,1+7+49+343=400,1+7+49+343+2401>1000,
p≧11のとき，1+p+p^2+p^3>1000で，1+p+p^2は奇数かつ5で割り切れない．
よって，1000の約数となるのは1+3+9+27=40だけで，
200/40=5,1000/40=25はいずれも，奇数の約数の和として表現できないから，
mの約数の和が200または1000となるのは，
1+pの形の1つ以上の積が200または1000となるときに限る．

1000の約数1,2,4,5,8,10,20,25,40,50,100,125,200,250,500,1000
のうち，1を引いて素数となるのは4,8,20,200,500だけ．
これらのうちの1つ以上の積が200または1000となるのは「200」だけだから，
A=5のとき，m=199に限り，A=1に対しては解なし．

以上より，求める整数は，
64*7=448,4*199=796.

*7の片方が…

1+2^2+2^3+2^4+2^5+2^6=125 でもいいことに気付けず…^^;

[スモークマン]

＞1:24pmの鍵コメT様へ ^^
そっか…1+2^2+2^3+2^4+2^5+2^6=125 になるのでした ^^;
わたしゃ...なかなか上手くいえませんでした…^^;;
紹介させていただきまっす〜m(_ _)m〜v