10543：数列の和から一般項...

新年会の料理もお酒もまいう〜でしたぁ ^^☆

入り口の壁面デコではここが何屋さんだか不定/鑑別不能だったりした…^^;

問題10543・・・http://sorairononeco.althemath.oboroduki.com/main/ryo/r-sec010.htm

より 引用 Orz〜

数列｛a(n)｝(＞0)において、初項から第n項までの和S(n)との間に、

S(n)＝(a(n)＋1/a(n))/2 の関係があるとき、

(1)S(n)をnの式で表せ。
(2)a(n)をnの式で表せ。

*もともとは、まず、(S(n))²−(S(n−1))²をnの式で表せ。という誘導がありました！

解答

さっぱり気付けず…^^;;

*上記サイトより Orz〜

まず、(S_n)²−(S_n−1)²を求める。
S_n−S_n−1＝a_nからS_n−1を消去すると、(S_n)²−(S_n−1)²＝1となる。

キレイ。(nの0次式も「nの式」に含まれるよね、きっと…。)
また、a₁＝S₁＝(a₁＋1/a₁)/2より、S₁＝1(＞0)
よって、数列{(S_n)²}は初項1,公差1の等差数列なので、

(S_n)²＝n……(1)の答え
だから、S_n＝√n(＞0)、これをはじめの関係式に代入して、

a_n＝√n−√(n−1)……(2)の答え

*　なんかわからんけど凄い ^^;♪

S(n)=√n

S(n)=(a(n)+1/a(n))/2=(√n-√(n-1)+(√n+√(n-1))/2=√n

になってるわ !!