10655：コンビネーションの積...

問題10655(友人問)

a+b+c=5　をみたす非負整数の組(a,b,c)すべてについて

17Ca*17Cb*17Cc　を足し合わせたものを求めよ。

ただし演算子を用いず数値で答えて下さい。

解答

・わたしの…

(a,b,c)の組み合わせは…

(1,1,3)

(1,2,2)

(17C1*17C1*17C3)^3+(17C1*17C2*17C2)^3

=17^3*((17*17*8*5)^3+(17*8)^3)

=17^6*(17^3*40^3+8^3)

=7589636454243328

余り面白くない…^^;

↑

大勘違いも甚だしかったです…^^;; Orz…

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

「非負整数」には0も含まれます．
また，「すべてを足し合わせる」なので，
(17C1*17C1*17C3)^3は変であり，^3ではなく*3のはずです．

例えば，17C1は，(x+1)^17を展開した式のxの係数です．
(17C1*17C1*17C3)なら，
(x+1)^17の展開式の，xの係数,xの係数,x^3の係数を順に掛けたものとなります．

結局，求める和は，((x+1)^17)*((x+1)^17)*((x+1)^17)のx^5の係数
であり，51C5となります．
この計算は，まともにやることになりますが，大したことはありません．
2349060になると思います．

付け加えれば，二項定理を利用しなくても説明は可能です．

17人のグループが3つあり，
3グループから，合計5人の委員を選ぶ選び方の数を求めればよく，
51C5が結論です．

*たしかにその意味付けの式だったと理解できました ^^♪

[スモークマン]

＞11:12pmの鍵コメT様へ ^^
ぎゃふん!!
そっか☆
意味付けを考えてたのですが...貴殿のおっしゃること了解♪
紹介させていただきまっす〜m(_ _)m〜v